浅谈数学归纳法.doc

浅谈数学归纳法

陈国良

井冈山大学数理学院江西吉安邮编：343009

指导老师：曹艳华

[摘要]用数学归纳法证明数学问题时，要注意它的两个步骤缺一不可，第一步是命题递推的基础，第二步是命题递推的依据，也是证明的关键和难点，两个步骤各司其职，互相配合.数学归纳法经历无数数学的潜心研究与科学家们的利用，是数学归纳法得以发展和它为数学问题与科学问题的发现做出了极大的贡献。学好归纳法是科学问题研究的最基础的知识.

[关键词]理论依据；数学归纳法；表现形式

1数学归纳法的萌芽和发展过程

数学归纳法思想萌芽可以说长生于古希腊时代。欧几里德在证明素数有无穷多多个时，使用了反证法，通过反设“假设有有限多个”，使问题变成“有限”的命题，其中证明里隐含着：若有n个素数，就必然存在第n+1个素数，因而自然推出素数有无限多个，这是一种是图用有限处理无限的做法，是人们通过过有限和无限的最初尝试。

欧几里德之后直到16世纪，在意大利数学家莫洛克斯的《算术》一书中明确提出一个“递归推理”原则，并用它证明了1+2+3+…+（2n-1）=,对任何自然数n都成立。不过他并没有对这原则做出清晰的表述。

对数学归纳法首次作出明确而清晰阐述的是法国数学家和物理学家帕斯卡，他发现了一种被后来成为“帕斯卡三角形”的数表。他在研究证明有关这个“算术三角形”的一些命题时，最先准确而清晰的指出了证明过程且只需的两个步骤，称之为第一条引理和第二条引理：

第一条引理该命题对于第一底（即(n=1)成立，这是显然的。

第二条引理如果该命题对任意底（对任意n）成立，它必对其下一底（对n+1）也成立。

由此可得，该命题对所有n值成立。

因此，在数学史上，认为帕斯卡是数学归纳法的创建人，因其所提出的两个引理从本质上讲就是数学归纳法的两个步骤，在他的著作《论算术三角形》中对此作了详尽的论述。

帕斯卡的思想论述十一例子来陈述归纳法的，而在他的时代还未建立表示一般自然数的符号。直至十七世纪，瑞士数学家J。伯努利提出表示任意自然熟的符号之后，在他的《猜度术》一书中，才给出并使用了现代形式的数学归纳法。由此，数学归纳法开始得到世人的承认并得到数学界日益广泛的应用。十九世纪，意大利数学家皮亚若建立自然数的公理体系时，提出归纳公理，为数学归纳法奠定了理论基础。即：对于正整数的子集M，如果满足：①1∈M;②若a∈M，则a+1∈M；则M=.

2数学归纳法的表现形式

2.1第一数学归纳法

原理1：设是一个与正整数有关的命题，如果

（1）当时，成立；

（2）假设时命题成立,由此推得n=k+1时，也成立；

那么，对一切正整数n,成立。

证明：反证法.假设该命题不是对于一切正整数都成立.令表示使该命题不成立的正整数作成的集合，那么，于是由最小数原理，中有最小数,因为命题对于时成立，所以1，，从而是个正整数，又由于条件（3）当也成立.因此，导致矛盾，因此该命题对于一切正整数都成立，定理证毕.

在应用数学归纳法时，有些命题不一定从开始的，这时在叙述上只要将换成即可，第一数学归纳法主要可概括为以下三步：

=1\*GB3①归纳基础：证明时命题成立；

=2\*GB3②归纳假设：假设时命题成立；

=3\*GB3③归纳递推;由归纳假设推出时命题也成立.

2．2第二数学归纳法

原理2：设是一个与正整数有关的命题，如果

（1）当时，成立；

（2）假设时命题成立,由此推得n=k+1时，也成立；

那么，对一切正整数n,成立。

则这个命题对于一切正整数都成立其证明方法与上述证明方法类似

由此我们可以看出第二数学归纳法与第一数学归纳法是等价的，在有些情况下，由归纳法

（2）假设n=k时，成立，则当n=k+1时，

即，命题也能成立。

（3）综上所述，由数学归纳法原理知，对n∈,成立。

在证明第二步“n=k+1时等式成立”时，除了形式上的变形外，其实质是运用了先前的假设“n=k时等式成立“。因此，第二步一开始的假设不是可有可无，它不是摆设，而是在以后的证明中起着已知条件的作用，不可或缺，也只有这样，才表明由n=k时命题成立到处n=k+1时命题成立的递推关系的真实存在，在用数学归纳法证明时，第一步很简单，第二步很关键，也是综合性较强的一步，其归纳过渡作用。

数学归纳法是一种非常有效的证明与自然数序列有关的命题的数学方法。他绕开了证明过程中的很多障碍显得简洁有力。这种证明方法的本质特征用庞加莱的话来说：“把无穷的第二轮纳入唯一的公式中。”具体运用归纳法原理证明数学命题是分三步：

=1\*GB3①验证n去第一个值时命题也正确性（奠基）；

=2\*GB3②证明“由n=k”时命题正确可推得n=k+1时命题也正确”（递推依据）；

=3\*G