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线性方程组解的判定定理

定理1设A(a),n元齐次线性方程组Ax0

ijmn

有非零解的充要条件是系数矩阵的秩r(A)n.

证必要性设方程组Ax0有非零解.

设则在中应有一个阶非零子式

r(A)n,An

D.根据克莱姆法则,D所对应的个方程只有零解,

nn

与假设,故r(A)n.

充分性设r(A)sn,则的行阶梯形矩阵

A

只含有个非零行,从而知其有个自由未知量.

sn−s

任取一个自由未知量为其余自由未知量为即可

1,0,

得到方程组的一个非零解.证毕.

定理2设A(a),n元非齐次线性方程组

ijmn

Axb有解的充要条件是系数矩阵的秩等于增

A

广矩阵B(Ab)的秩,即r(A)r(B).

证必要性设方程组Axb有解,但r(A)r(B).

则的行阶梯形矩阵中最后一个非零行是方程

B

01,这与方程组有解相,因此r(A)r(B).

充分性设r(A)r(B)s(sn),

则的行阶梯形矩阵中含有个非零行,把这行

Bss

的第一个非零元所对应的未知量作为非自由量,其

余n−s个作为自由未知量,并令这n−s个自由未

知量全为零,即可得到方程组的一个解.证毕.

完