2024-2025学年上海南汇中学高三上学期数学月考试卷及答案（2024.10）.docx

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南汇中学2024学年第一学期高三年级数学月考

2024.10

一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）

1．集合，则中元素的个数为________．

2．函数从到的平均变化率是________．

3．不等式的解集为________．

4．已知为锐角，，则________．

5．若，则________．

6．不等式的解集为________．

7．在中，内角、、的对边分别是、、，若，，则_______．

8．已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是______．

9．函数的值域为，则实数的值为________．

10．若函数是奇函数，则________．

11．如下图所示，甲工厂位于一直线河岸的岸边处，乙工厂与甲工厂在河的同侧，且位于离河岸40km的处，河岸边处与处相距50km（共），两家工厂要在此岸边建一个供水站，从供水站到甲工厂和乙工厂的水管费用分别为每千米元和元，问供水站建在岸边距离处________km才能使水管费用最省．

12．已知函数，若对任意的，都存在唯一的，满足，则实数的取值范围为________．

二、选择题（本大题共4题，满分18分，其中第13-14题4分，第15-16题5分）

13．下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数为（）．

A． B． C． D．

14．已知函数恒过定点，则（）．

A．1 B．2 C．3 D．4

15．已知顶点在原点的锐角绕原点逆时针转过后，终边交单位圆于，则的值为（）．

A． B． C． D．

16．如图所示，已知直线与曲线相切于两点，函数，则对函数描述正确的是（）．

A．有极小值点，没有极大值点

B．有极大值点，没有极小值点

C．至少有两个极小值点和一个极大值点

D．至少有一个极小值点和两个极大值点

三、解答题（本大题共有5题，满分78分）．

17．（本题满分14分）第1小题满分6分，第2小题满分8分．

已知集合，．

（1）若，求；

（2）“”是“”的充分非必要条件，求实数的取值范围．

18．（本题满分14分）第1小题满分6分，第2小题满分8分．

已知为奇函数，其中，

（1）求函数的最小正周期和的表达式

（2）若，，求的值．

19．（本题满分14分）第1小题满分6分，第2小题满分8分．

流行性感冒简称流感，是流感病毒引起的急性呼吸道感染，也是一种传染性强、传播速度快的疾病．了解引起流感的某些细菌、病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防流感的传播有极其重要的意义，某科研团队在培养基中放入一定是某种细菌进行研究．经过2分钟菌落的覆盖面积为，经过3分钟覆盖面积为，后期其蔓延速度越来越快；菌落的覆盖面积（单位：）与经过时间（单位：）的关系现有三个函数模型：

①，②，③可供选择．

（1）选出你认为符合实际的函数模型，说明理由，并求出该模型的解析式；

（2）在理想状态下，至少经过多少分钟培养基中菌落的覆盖面积能超过？（结果保留到整数）

20．（本题满分18分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

设为实数，函数，．

（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；

（2）当时，求函数的最小值；

（3）对于函数，在定义域内给定区间，如果存在，满足，则称函数是区间上的“平均值函数”，是它的一个“均值点”．如函数是上的平均值函数，0就是它的均值点．

现有函数是区间上的平均值函数，求实数的取值范围．

21．（本题满分18分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

设是坐标平面上的一点，曲线是函数的图像．若过点恰能曲线的条切线，则称是函数的“度点”．

（1）判断点与点是否为函数的“1”度点（不需要说明理由）；

（2）已知，，证明：点是的“0度点”；

（3）求函数的全体“2度点”构成的集合．

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参考答案

一、填空题

1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9.;10.；11.12.

11．如下图所示，甲工厂位于一直线河岸的岸边处，乙工厂与甲工厂在河的同侧，且位于离河岸40km的处，河岸边处与处相距50km（共），两家工厂要在此岸边建一个供水站，从供水站到甲工厂和乙工厂的水管费用分别为每千米元和元，问供水站建在岸边距离处________km才能使水管费用最省．

【答案】

【解析】根据题意可知点在线段上某一适当位置时，才能使总运费最省,

设点距点,则,

又设总的水管费用为元，

由