工程力学第8章 梁弯曲时的强度计算.docxVIP

PAGE

1-

工程力学第8章梁弯曲时的强度计算

一、梁弯曲时的强度计算概述

梁弯曲时的强度计算是工程力学中的一个重要内容，它主要研究在外力作用下，梁的结构如何承受弯曲应力，并确保其安全性。在工程设计中，梁的强度计算对于保证梁在荷载作用下的稳定性和耐久性具有重要意义。根据结构的不同形式和荷载类型，梁的强度计算方法也有所差异。例如，对于简支梁，其强度计算需要考虑弯矩、剪力和轴力等因素，而对于连续梁，则需要考虑其跨度和支座条件。

在实际工程中，梁的强度计算通常遵循以下步骤：首先，确定梁的截面几何形状和尺寸，这直接影响到梁的承载能力；其次，根据梁的受力情况，计算出作用在梁上的各种荷载，包括集中荷载、均布荷载等；接着，通过力学分析方法，计算出梁在荷载作用下的内力分布，包括弯矩、剪力和轴力；最后，根据梁的材料强度和几何尺寸，对梁进行强度校核，确保其在设计荷载作用下不发生破坏。

以一根简支梁为例，当其承受均布荷载时，梁的强度计算公式如下：\[M=\frac{ql^2}{8}\]，其中M表示梁的最大弯矩，q表示单位长度上的均布荷载，l表示梁的跨度。通过这个公式，我们可以计算出梁在荷载作用下的最大弯矩值。进一步地，根据材料的抗弯强度，我们可以确定梁的截面尺寸，以保证梁在荷载作用下的安全性。例如，对于碳素钢梁，其抗弯强度约为250MPa，若要求梁在荷载作用下的安全系数为1.5，则梁的截面尺寸应满足以下条件：\[\frac{W_f}{M}\geq\frac{250}{1.5}\]，其中W_f表示梁的截面抗弯模量。

在实际工程应用中，梁的强度计算还涉及到梁的变形问题。梁的变形会影响其正常使用，如引起结构的整体变形、影响梁的支撑作用等。因此，在梁的强度计算中，还需要考虑其变形量。根据材料力学理论，梁的变形量与弯矩、梁的刚度、梁的长度等因素有关。例如，一根长为l的梁，其弹性模量为E，截面惯性矩为I，在弯矩M的作用下，其最大挠度可由以下公式计算：\[\delta=\frac{5Ml^3}{384EI}\]。通过控制梁的变形量，可以确保梁在使用过程中的稳定性和舒适性。

二、梁弯曲时的强度计算方法

(1)梁弯曲时的强度计算方法主要包括静力分析、材料力学分析和结构力学分析。在静力分析中，通过确定梁的支座反力和内力分布，计算出梁在荷载作用下的最大弯矩和剪力。这一步骤是梁强度计算的基础，它为后续的材料强度校核提供了必要的数据。例如，对于一根简支梁，其最大弯矩通常出现在跨中位置，而剪力则可能出现在支座或荷载作用点。

(2)材料力学分析是梁强度计算的核心部分，它涉及到梁的应力、应变和强度之间的关系。在这一阶段，根据梁的截面形状和尺寸，计算出梁在最大弯矩处的最大正应力。对于不同类型的截面，如矩形、圆形和工字形截面，其计算公式有所不同。例如，矩形截面的最大正应力公式为\[\sigma=\frac{M}{W_z}\]，其中M为最大弯矩，W_z为截面抵抗矩。在材料力学分析中，还需要考虑材料的屈服强度和抗拉强度，以确保梁在荷载作用下的安全性。

(3)结构力学分析则涉及到梁的整体稳定性问题。在梁的强度计算中，除了考虑梁的截面尺寸和材料强度外，还需要评估梁在荷载作用下的整体稳定性。这包括梁的屈曲稳定性和剪切稳定性。例如，对于细长梁，其屈曲稳定性可以通过欧拉公式进行计算，公式为\[\lambda=\sqrt{\frac{\pi^2E}{(K^2L)^2}}\]，其中\(\lambda\)为屈曲系数，E为材料的弹性模量，K为约束系数，L为梁的长度。通过确保梁的屈曲系数小于临界值，可以避免梁在荷载作用下的屈曲破坏。同时，还需要考虑梁的剪切稳定性，以保证梁在剪切力作用下的安全性。

三、梁弯曲时的强度计算实例分析

(1)假设有一根跨度为6米的简支梁，承受均布荷载q=10kN/m。首先，根据梁的尺寸和材料特性，确定其截面形状为矩形，截面尺寸为200mm×300mm。根据材料力学公式，计算该梁的最大弯矩\[M=\frac{ql^2}{8}=\frac{10\times6^2}{8}=45kN\cdotm\]。接着，计算梁的截面抵抗矩\[W_z=\frac{b\timesh^2}{6}=\frac{0.2\times0.3^2}{6}=0.003m^3\]。利用这些数据，我们可以计算出梁的最大正应力\[\sigma=\frac{M}{W_z}=\frac{45\times10^6}{0.003}=15MPa\]。考虑到材料的屈服强度为300MPa，梁在此荷载下的安全系数为\[\frac{300}{15}=20\]，满足强度要求。

(2)在实际工程中，有时梁的截面可能受到局部集中荷载的影响。例如，一根工字形截面的梁，其截面尺寸为300mm×600mm，承受集中荷载F=200kN