初中数学自主招生难度讲义-9年级专题07 一元二次方程的应用.docx

专题07一元二次方程的应用

阅读与思考

一元二次方程是解数学问题的有力工具，许多数学问题都可转化为解一元二次方程、研究一元二次方程根的性质等而获解.现阶段，一元二次方程的应用主要有以下两方面：

求代数式的值；

列二次方程解应用题.

从本质上讲，列二次方程解应用题与前面我们已经学过的列一元二次方程解应用题没有区别，通常都要经过设、列、解、答等四个步骤，解题的关键是寻找实际问题中的等量关系.特别需要注意的是，列出的一元二次方程一般会有两个不同的实数根，所以在检验时应特别注意，很可能其中有不符合实际问题的根，必须舍去.

例题与求解

【例1】甲、乙两地分别在河的上、下游，每天各有一班船准点以匀速从两地对开，通常它们总在11时于途中相遇，一天乙地的船因故晚发了40分钟，结果两船在上午11时15分在途中相遇，已知甲地开出的船在静水中的速度数值为44千米/时，而乙地开出的船在静水中的速度为水流速度千米/时数值的平方，则的值为___________.（安徽省竞赛试题）

解题思路：利用甲船15分钟所行路程是乙船（40-15）分钟所行路程建立方程.

【例2】自然数满足，这样的的个数是（）

A．1个B．2个C．3个D．4个（江苏省竞赛试题）

解题思路：运用幂的性质，将问题转化为解方程.

【例3】如图，在平面直角坐标系中，直线与交于点A，分别交轴于点B和点C，点D是直线AC上的一个动点.

求点A，B，C的坐标；

当△CBD为等腰三角形时，求点D的坐标.（太原市中考试题）

解题思路：对于（2），利用“腰相等”建立方程，解题的关键是分类讨论.

【例4】如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点E在直角边AC上（点E与A，C两点均不重合）.

（1）若点F在斜边AB上，且EF平分Rt△ABC的周长，设AE＝，试用的代数式表示S；

（2）若点F在折线ABC上移动，试问：是否存在直线EF将Rt△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，则求出AE的长；若不存在直线EF，请说明理由.（常州市中考试题）

解题思路：几何计算问题代数化，通过定量分析回答是否存在这样的直线EF，将线段的计算转化为解方程.

【例5】某公司投资新建了一商场，共有商铺30间，据预测，当每间的年租金定为10万元时，可全部租出.每间的年租金每增加5000元，少租出商铺1间，该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元，未租出的商铺每间每年交各种费用5000元.

（1）当每间商铺的年租金定为13万元时，能租出多少间？

（2）当每间商铺的年租金定为多少万元时，该公司的年收益（收益＝租金－各种费用）为275万元？

（绍兴市中考试题）

解题思路：解题的关键是把复杂的数量关系分解成若干个小问题，再寻找各个小问题间量与量的关系.

【例6】已知：如图1，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s.连结PQ.若设运动的时间为（s）（0＜＜2），解答下列问题：

（1）当为何值时，PQ∥BC？

（2）设△AQP的面积为（），求与之间的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由；

（4）如图2，连结PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时刻，使四边形PQP′C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由.（青岛市中考试题）

解题思路：对于（3），先求出PQ平分Rt△ACB周长时的值，再看求出的值是否满足由面积关系建立的方程

能力训练

A级

1.某工厂把500万元资金投入新产品生产，第一年获得了一定的利润，在不抽调资金和利润（即将第一年获得的利润也作为生产资金）的前提下，继续生产，第二年的利润率（即所获利润与投入生产资金的比）比第一年的利润率增加了8%