2024-2025学年上海复旦附中高三上学期数学月考试卷及答案（2024.10）.docx

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复旦附中2024学年第一学期高三年级数学月考

2024.10

一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）

1．不等式的解集是________．

2．已知集合，集合，则________．

3．若一个球的表面积为，则该球的体积为________（结果中保留）

4．第33届夏季奥林匹克运动会女子10米跳台跳水决赛中，全红婵以425.60分的高分拿下冠军．下面统计某社团一位运动员10次跳台跳水的训练成绩：68，80，74，63，66，84，78，66，70，76，则这组数据的第60百分位数为________．

5．如图，一条河流上的，是两个独立的水闸，设它们打开的概率分别为，，则出口处通水的概率为________．

6．已知，，则________．

7．已知函数的导函数为，记，．，则，，的大小关系是_____（按从小到大的顺序排列）

8．若双曲线的一条渐近线与圆交于，两点，则________．

9．已知函数是定义在上的奇函数，且，若对任意的，，当时，有成立，则不等式的解集为________．

10．已知数列的通项公式是，记为在区间内项的个数，则使得不等式成立的的最小值为________．

11．已知函数，若函数在区间上恰有2024个零点，则所有可能的正整数的值组成的集合为________．

12．将12张完全相同的卡牌分成3组，每组4张．第一组的卡牌左上角都标1，右下角分别标上1，2，3，4；第二组的卡牌左上角都标2，右下角分别标上2，3，4，5；第三组的卡牌左上角都标3，右下角分别标上3，4，5，6．将这12张卡牌打乱放在一起，从中随机依次不放回地抽取3张，其中满足左上角数字依次不减小，且右下角数字依次构成等差数列的不同的抽取方式有________种．

二、选择题（本大题共有4小题，第13-14题4分，第15-16题5分，满分18分）．

13．下列命题中正确的是（）

A．若，则B．若，，则

C．若，则D．若，，则

14．如图，点为正方体中与的交点，则在该正方体各个面上的投影可能是（）

A．①②③④ B．①③ C．①④ D．②④

15．已知抛物线，圆，过圆心作斜率为的直线与抛物线和圆交于四点，自上而下依次为，，，，若，则的值为（）

A． B． C． D．

16．已知函数，，依次是定义在上的严格增函数、严格减函数以及周期函数，记，其中表示，，三数中的最大者．考虑如下三个命题：①若是严格增函数，则；

②若是严格减函数，则；

③若是周期函数，则．其中真命题的个数是（）

A．0 B．1 C．2 D．3

三、解答题（本大题共5题，满分78分）.

17．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）

已知圆锥的底面半径为2，母线长为，点为圆锥底面圆周上的一点，为圆心，是的中点，且；

（1）求圆锥的全面积；

（2）求直线与平面所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）

18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

已知向量，，其中，记．

（l）若函数的最小正周期为，求的值；

（2）在（1）的条件下，已知的内角、、对应的边分别为、、，若，且，，求的面积．

19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

近期随着某种国产中高端品牌手机的上市，我国的芯片技术迎来了重大突破．某企业原有1000名技术人员，年人均投入万元，现为加强技术研发，该企业把原有技术人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员工名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元．

（1）若要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前1000名技术人员的年总投入，则调整后的研发人员的人数最少为多少？

（2）为了激发研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在投入方面要同时满足以下两个条件：

①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入；

②技术人员的年人均投入始终不减少．

请问是否存在这样的实数，满足以上两个条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．

20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

已知和是椭圆上两点，是坐标原点．

（1）求椭圆的离心率：

（2）若过点的直线交于另一点，且的面积为9，求直线的方程；

（3）过中点的动直线与椭圆有两个交点，．试判断在轴上是否存在点使得．若存在，求出点纵坐标的取值范