专题06函数及其表示思维导图知识清单核心素养分析方法归纳原卷版.pdfVIP

专题06函数及其表示

目录

01思维导图

02知识清单

03核心素养分析

04方法归纳

一、函数的概念

1.函数的定义

设A,B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一

确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x),x∈A.其中，x叫做自

变量，x的取值范围A叫做函数的定义域.显然，值域是集合B的子集.

2.函数的构成要素

函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域.三者缺一不可，其中对应关系是核心，定义域是根本，当定义

域和对应关系确定了，值域也就确定了.

二、函数的定义域

1.函数的定义域是自变量x的取值集合，它是函数的重要组成部分.

2.求函数定义域的注意事项

(1)分式的分母不为0;

(2)偶次根式的被开方数大于等于0;

(3)零次幂的底数不为0;

(4)实际问题中自变量的范围；

(5)多个式子构成的函数，其定义域要满足每个式子都有意义.

三、函数的值域

1.函数的值域是在对应关系f的作用下，自变量x在定义域内取值时相应的函数值组成的集合

四、同一个函数

如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两

个函数是同一个函数.

温馨提示：当一个函数的对应关系和定义域确定后，其值域就随之确定，所以两个函数当且仅当定义城和对

应关系相同时，才为同一函数.换言之，(1)定义域不同，两函数不同；(2)值域不同，两函数不同；(3)对应关系

不同，两函数不同，即使定义域和值城分别相同的两个函数，也不一定是同一函数，如y=5x与它们的定义域

和值域都是实数集R,但不是同一个函数.

五、区间

1.一般区间的表示(a,b为实数，且ab

定义名称符号数轴表示

{x|a≤x≤b}闭区间[a,b]

{x|axb}开区间(a,b)

{x|a≤xb}半闭半开区间(a,b)

{x|ax≤b}半开半闭区间(a,b)

2.特殊区间的表示

六、函数的表示法

1.解析法

用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.

2.图象法

用图象表示两个变量之间的对应关系，

3.列表法

列出表格来表示两个变量之间的对应关系.

温馨提示：

(1)解析法必须注明函数的定义域；

(2)列表法必须罗列出所有的自变量的值与函数值的对应关系；(3)图象法必须清楚函数图象是“点”还是

“线”,

七、复合函数

如果函数y=f(t)的定义域为A,函数t=g(x)的定义域为B,值域为C,则当C≤A时，称函数y=f(g(x))为f(t)

与g(x)在B的复合函数，其中t叫做中间变量，t=g(x)叫做内层函数，y=f(t)叫做外层函数.

温馨提示：

1.内层函数的值域是外层函数的定义域或定义域的子集.

2.函数f(g(x))的定义域是指x的取值范围，而不是g(x)的取值范围.

八、分段函数

在函数y=f(x)的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数通常称为

分段函数

本专题的学习，可以帮助学生建立完整的函数概念，不仅把函数理解为刻画变量之间依赖关系的数学语

言和工具，也把函数理解为实数集合之间的对应关系。

重点提升数学抽象、逻辑推理、数学运算素养。

一、函数的定义域

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例1(1)(2022·武汉模拟)函数f(x)＝