初中数学自主招生难度讲义-8年级专题03 和差化积——因式分解的方法（1）.docx

专题3和差化积----因式分解的方法（1）

阅读与思考

提公因式、公式法、十字相乘法、分组分解法是因式分解的基本方法，通常根据多项式的项数来选择分解的方法，有公因式的先提公因式，分解必须进行到每一个因式都不能再分解为止．

一些复杂的因式分解问题经常用到以下重要方法：

1．换元法：

对一些数、式结构比较复杂的多项式，可把多项式中的某些部分看成一个整体，用一个新字母代替，从而可达到化繁为简的目的．从换元的形式看，换元时有常值代换、式的代换；从引元的个数看，换元时有一元代换、二元代换等．

2．拆、添项法：

拆项即把代数式中的某项拆成两项的和或差，添项即把代数式添上两个符号相反的项，因式分解中进行拆项与添项的目的是相同的，即经过拆项或添项后，多项式能恰当分组，从而可以运用分组分解法分解．

例题与求解

【例l】分解因式___________．

（浙江省中考题）

解题思路：把看成一个整体，用一个新字母代换，从而简化式子的结构．

【例2】观察下列因式分解的过程：

（1）；

原式＝；

（2）．

原式＝．

第（1）题分组后能直接提公因式，第（2）题分组后能直接运用公式．

仿照上述分解因式的方法，把下列各式分解因式：

（1）；

（西宁市中考试题）

（2）．

（临沂市中考试题）

解题思路：通过分组，使每一组分组因式后，整体能再分解，恰当分组是关键，经历“实验－－失败－－再试验－－再失败－－直至成功”的过程．

【例3】分解因式

（1）；

（重庆市竞赛题）

（2）；

（“缙云杯”邀请赛试题）

（3）．

（“五羊杯”竞赛试题）

解题思路：（1）式中系数较大，直接分解有困难，不妨把数字用字母来表示；（2）式中、反复出现，可用两个新字母代替，突出式子的特点；（3）式中前两项与后一项有密切联系．

【例4】把多项式因式分解后，正确的结果是（ ）．

A．B．

C．D．

（“希望杯”邀请赛试题）

解题思路：直接分组分解困难，可考虑先将常数项拆成几个数的代数和，比如－3＝－4＋1．

【例5】分解因式：

（1）；

（扬州市竞赛题）

（2）；（请给出多种解法）

（“祖冲之杯”邀请赛试题）

（3）．

解题思路：按次数添上相应的项或按系数拆项法分解因式的基本策略．

【例6】分解因式：．

（河南省竞赛试题）

解题思路：拆哪一项？怎样拆？可有不同的解法．

能力训练

A级

1．分解因式：

（1）＝___________________________．

（泰安市中考试题）

（2）＝__________________________．

（威海市中考试题）

2．分解因式：

（1）＝_________________________；

（2）＝_____________________________．

3．分解因式：＝____________________________．

4．多项式与多项式的公因式是____________________．

5．在1~100之间若存在整数，使能分解为两个整系数一次式的乘积，这样的有_______个．

6．将多项式分解因式的积，结果是（ ）．

A．B．

C．D．

7．下列各式分解因式后，可表示为一次因式乘积的是（ ）．

A．B．

C．D．

（“希望杯”邀请赛试题）

8．把分解因式，其中一个因式是（）．

A．B．C．D．

9．多项式有因式（ ）．

A．B．

C．D．

（“五羊杯”竞赛试题）

10．已知二次三项式可分解成两个整系数的一次因式的积，那么（ ）．

A．一定是奇数B．一定是偶数

C．可为奇数也可为偶数D．一定是负数

11．分解因式：

（1）；

（2）；

（3）；（“祖冲之杯”邀请赛试题）

（4）；（重庆市竞赛试题）

（5）；

（6）．

12．先化简，在求值：

，其中，．

B级

1．分解因式：＝_______________．

（重庆市竞赛试题）

2．分解因式：＝_____________．

（“五羊杯”竞赛试题）

3．分解因式：＝_________________________．

（“希望杯”邀请