初中数学自主招生难度讲义-8年级专题13三角形的基本知识.docx

专题13三角形的基本知识

阅读与思考

三角形是最基本的几何图形，是研究复杂几何图形的基础，许多几何问题都可转化为三角形的问题来解.三角形基本知识主要包括三角形基本概念、三角形三边关系定理及推论、三角形内角和定理及推论等，它们在线段和角度的计算、图形的计数等方面有广泛的应用.

解与三角形的基本知识相关的问题时，常用到数形结合及分类讨论法，即用代数方法解几何计算题及简单的证明题，对三角形按边或按角进行恰当分类.

应熟悉以下基本图形：

例题与求解

【例1】在△ABC中，∠A=50°，高BE，CF交于O，则∠BOC=________.

（“东方航空杯”——上海市竞赛试题）

解题思路：因三角形的高不一定在三角形内部，故应注意符合题设条件的图形多样性.

【例2】等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm两部分，则这个等腰三角形底边的长为（）

A.17cmB.5cmC.5cm或17cmD.无法确定

（北京市竞赛试题）

解题思路：中线所分两部分不等的原因在于等腰三角形的腰与底的不等，应分情况讨论.

【例3】如图，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE与CF交于G，若∠BDC=140°，∠BGC=110°，求∠A的大小.

（“希望杯”邀请赛试题）

解题思路：运用凹四边形的性质计算.

【例4】在△ABC中，三个内角的度数均为正数，且∠A＜∠B＜∠C，4∠C＝7∠A，求∠B的度数.

（北京市竞赛试题）

解题思路：把∠A，∠C用∠B的代数式表示，建立关于∠B的不等式组，这是解本题的突破口.

【例5】（1）周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个？

（2）现有长为150cm的铁丝，要截成小段，每段的长不小于1cm的整数，如果其中任意3小段都不能拼成三角形，试求的最大值.此时有几种方法将该铁丝截成满足条件的段.

（江苏省竞赛试题）

解题思路：对于（1），不妨设三角形三边为，，，且，由条件及三角形三边关系定理可确定的取值范围，从而可以确定整数的值.

对于（2），因段之和为定值150cm，故欲使尽可能的大，必须使每段的长度尽可能的小.这样依题意可构造一个数列.

【例6】在三角形纸片内有2008个点，连同三角形纸片的3个顶点，共有2011个点，在这些点中，没有三点在一条直线上.问：以这2011个点为顶点能把三角形纸片分割成多少个没有重叠部分的小三角形？

（天津市竞赛试题）

解题思路：本题的解题关键是找到规律：三角形内角每增加1个内点，就增加了2个三角形和3条边.

能力训练

A级

1.设，，是△ABC的三边，化简=____________.

2.三角形的三边分别为3，，8，则的取值范围是__________.

3.已知一个三角形三个外角度数比为2:3:4，这个三角形是_______（按角分类)三角形.

4.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为____________.（“缙云杯“试题）

（第4题）（第5题）（第6题）

5.如图，已知AB∥CD，GM，HM分别是∠AGH，∠CHG的角平分线，那么∠GMH=_________.

（第7题）（第9题）

6.如图，△ABC中，两外角平分线交于点E，则∠BEC等于（）

A.B.

C.D.

7.如图，在△ABC中，BD，BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于G，交BC于H.下列结论：

①∠DBE=∠F；②2∠BEF=∠BAF+∠C；③∠F=（∠BAC-∠C）；④∠BGH=∠ABE+∠C.

其中正确的是（）

A.①②③B.①③④C.①②③D.①②③④

8.已知三角形的每条边长的数值都是2001的质因数，那么这样的不同的三角形共有（）

A.6个B.7个C.8个D.9个

如图，将纸片△ABC沿着DE折叠压平，则（）

A.∠A=∠1+∠2B.∠A=（∠1+∠2）

C.∠A=（∠1+∠2）D.∠A=（∠1+∠2）

（北京市竞赛试题）

10.一个三角形的周长是偶数，其中的两条边分别是4和1997，则满足上述条件的三角形的个数是（）

A.1个