初中数学自主招生难度讲义-8年级专题18 直角三角形.pdf

专题18直角三角形(吴梅录入)

阅读与思考

直角三角形是一类特殊三角形，有以下丰富的性质：

角的关系：两锐角互余；

边的关系：斜边的平方等于两直角边的平方和；

30

边角关系：所对的直角边等于斜边的一半.

这些性质广泛应用于线段计算、证明线段倍分关系、证明线段平方关系等方面.

在现阶段，勾股定理是求线段的长度的主要方法，若图形缺少条件直角条件，则可通过

作辅助垂线的方法，构造直角三角形为勾股定理的应用创造必要条件；运用勾股定理的逆定

理，通过代数方法计算，也是证明两直线垂直的一种方法.

熟悉以下基本图形基本结论：

例题与求解

xx1

【例l】（1）直角△ABC三边的长分别是，和5，则△ABC的周长＝

_____________.△ABC的面积＝_____________.

（2）如图，已知Rt△ABC的两直角边AC＝5，BC＝12，D是BC上一点，当AD是∠

A的平分线时，则CD＝_____________.

（太原市竞赛试题）

解题思路：对于（1），应分类讨论；对于（2），能在Rt△ACD中求出CD吗？从角平

分线性质入手.

【例2】如图所示的方格纸中，点A，B，C，都在方格线的交点，则∠ACB＝（）

A.120°B.135°C.150°D.165°

（“希望杯”邀请赛试题）

解题思路：方格纸有许多隐含条件，这是解本例的基础.

【例3】如图，P为△ABC边BC上的一点，且PC＝2PB，已知∠ABC＝45°，∠APC

＝60°，求∠ACB的度数.

（“祖冲之杯”邀请赛试题）

解题思路：不能简单地由角的关系推出∠ACB的度数，综合运用条件PC＝2PB及∠APC

＝60°，构造出含30°的直角三角形是解本例的关键.

【例4】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，分别以AB，AC为边在△ABC的

外侧作等边△ABE和等边△ACD，DE与AB交于F，求证：EF＝FD.

（上海市竞赛试题）

解题思路：已知FD为Rt△FAD的斜边，因此需作辅助线，构造以EF为斜边的直角三

角形，通过全等三角形证明.

【例5】如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，AD＝CD，求证：

222

BDABBC

（北京市竞赛试题）

解题思路：由待证结论易联想到勾股定理，因此，三条线段可构成直角三角形，应设法

将这三条线段集中在同一三角形中.

【例6】斯特瓦尔特定理：

如图，设D为△ABC的边BC上任意一点，a，b，c为△ABC三边长，则

22

2bBDcDC

ADBDDC.请证明结论成立.

a

解题思路：本题充分体现了勾股定理运用中的数形结合思想.

能力训练

A级

1.如图，D为△ABC的边BC上一点，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，则

BC＝_____________.

2.如图，在Rt△ABC中∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于E，DE是斜边AB的垂直

平分线，且DE＝1cm，则AC＝_____________cm.

3.如图，四边形ABCD中，已知AB∶BC∶C