初中数学自主招生难度讲义-8年级专题24图形的折叠与剪拼.pdf

专题24图形的折叠与剪拼

阅读与思考

图形的折叠是指把某个图形或部分沿某直线翻折，这条直线为对称轴，在折叠过程中，线

短的长度、角的度数保持不变.

图形的剪拼是指对某个图形通过有限次的剪裁后重新接成另外一个新的几何图形，在剪拼

过程中，原图形与新图形的面积一般保持不变.

解答图形的折叠与剪拼问题，要抓住折叠与剪拼过程中一些量的不变性，将计算、推理与

合情想象结合起来，常用到全等三角形、勾股定理、面积等知识与方法.

折叠问题的实质是对称问题，“遇到折叠用对称”就是运用对称的性质：

①关于一条直线对称的两个图形全等；

②对称轴是对应点连线的中垂线.

例题与求解

【例1】如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在处，则重

D

叠部分△AFC的面积为＿＿＿＿＿.

（山东省竞赛试题）

例1题图例2题图

900

解题思路：△AFC的高为BC，只需求出AF，注意到D＝，AF＝FC

【例2】如图，直线y2x6与x轴，y轴分别交于P，Q两点，把△POQ沿PQ翻折，

点O落在R处，则点R的坐标是（）

2412

A.(,)B.（2,1）

55

C.（6,3）D.（7，3.5）

（江苏省竞赛试题）

解题思路：过点R作x轴，y轴的垂线，再利用相似三角形的性质可得垂线段的长度即求

得点R的坐标.

解剪拼问题时先利用剪拼后的图形所需关键线段的长度，然后，从剪拼前的图形中寻找

这些长度进行剪拼.

【例3】如图，将边长为12cm的正方形ABCD折叠，使得A点落在CD边上点E处，然后

压平折痕FG，若FG＝13cm，求CE长.

（北京市竞赛试题）

解题思路：由折叠可得A与E关于FG对称，则FG⊥AE，可证明FG＝AE，这是解本例

的关键.

【例4】将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，，，．动点

O(0，0)A(6，0)C(0，3)Q

2

OOCC

从点出发以每秒1个单位长的速度沿向终点运动，运动秒时，动点从点出发

PA

3

以相等的速度沿向终点运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点的

AOOP

运动时间为（秒）．t

（1）用含的代数式表示tOP，OQ；

（2）当时，如图1，将沿翻折，点恰好落在边上的点处，求

t1