2025年河南省九年级中考数学二轮复习专题课件：平面几何探究性应用.pptxVIP

平面几何探究性应用

平面几何类比、探究性问题是河南中考近10年的必考题型，2020年

之前多在第22题出现，近四年均在第23题出现，分值为10～11分.主要

类型有：①旋转背景下的探究应用（10年5考）；②轴对称背景下的探

究应用（2023年第23题）；③平移背景下的探究应用；④非图形变换下

探究应用（10年4考），尤其是2024年第23题对新定义的“邻等对补四

边形”展开的探究，也是2022版新课标理念的渗透，在教学和复习中一

定要注重知识的生成过程，注重学习经验的积累.

类型一旋转背景下的探究应用题型一旋转全等型模型展示模型分析△OAB，△OCD均为等腰三角形，它们共顶点且顶角相等，△OCD绕

顶点O旋转.

常用结论①△AOC≌△BOD；②AC＝BD；③∠AEB＝∠AOB.模型演变

常用结论①△AOC≌△BOD；②AC＝BD；③∠AEB＝∠CED＝∠AOB＝90°.（可用勾股定理）

1.（2024泰安）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝

CB，点D，E分别在AB，CB上，DB＝EB，连接AE，CD，取AE

中点F，连接BF.（1）求证：CD＝2BF，CD⊥BF；?图1

∴∠FAB＝∠FBA.∴∠FBA＝∠BCD，∵∠FBA＋∠FBC＝90°，∴∠FBC＋∠BCD＝90°.∴BF⊥CD.

（2）将△DBE绕点B顺时针旋转到图2的位置.①请直接写出BF与CD的位置关系：?；②求证：CD＝2BF.图1 图2BF⊥CD

（2）②证明：如图，延长BF到点G，使FG＝BF，连接AG.∵AF＝EF，FG＝BF，∠AFG＝∠EFB，∴△AGF≌△EBF（SAS），∴∠FAG＝∠FEB，AG＝BE.∴AG∥BE.∴∠GAB＋∠ABE＝180°，∵∠ABC＝∠EBD＝90°，∴∠ABE＋∠DBC＝180°，∴∠GAB＝∠DBC.∵BE＝BD，∴AG＝BD.在△AGB和△BDC中，∵AG＝BD，∠GAB＝∠DBC，AB＝CB，∴△AGB≌△BDC（SAS），∴CD＝BG.∵BG＝2BF，∴CD＝2BF.

追问1：在（2）的条件下，求证：S△ABE＝S△BDC.证明：由（2）②可知，S△ABE＝S△ABG＝S△BDC.图1 图2

追问2：若AB＝4，BD＝2，△DBE绕点B顺时针旋转，当C，D，E

三点共线时，求BF的长.图1 图2

?

追问3：过点B作BM⊥AE，垂足为M，BM的反向延长线交CD于点N.求证：①CN＝DN；②AE＝2BN.类比（2）②的方法即可得证.图1 图2

2.（2024牡丹江）数学老师在课堂上给出了一个问题，让同学们探究.

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D在直线BC上，

将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，过点E作EF∥BC，

交直线AB于点F.图1 图2 图3

（1）当点D在线段BC上时，如图1，求证：BD＋EF＝AB；分析问题：某同学在思考这道题时，想利用AD＝AE构造全等三角

形，便尝试着在AB上截取AM＝EF，连接DM，通过证明两个三角形

全等，最终证出结论：推理证明：写出图1的证明过程：图1 图2 图3

（1）证明：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠B＝90°－∠BAC＝90°－30°＝60°.∵EF∥BC，∴∠EFB＝∠B＝60°.又∵∠EAD＝60°，∴∠EFB＝∠EAD.又∵∠BAD＝∠EAD－∠EAF，∠AEF＝∠EFB－∠EAF，∴∠BAD＝∠AEF.又∵AD＝AE，AM＝EF，∴△DAM≌△AEF（SAS）.

∴AF＝DM，∠AMD＝∠EFA＝180°－∠EFB＝180°－60°＝120°.∴∠BMD＝180°－∠AMD＝180°－120°＝60°.∵∠B＝60°，∴∠BMD＝∠B＝∠BDM.∴△BMD是等边三角形.∴BD＝BM＝DM，∵AB＝AM＋BM，∴AB＝EF＋BD.

探究问题：（2）当点D在线段BC的延长线上时，如图2；当点D在线段CB的延

长线上时，如图3，请判断并直接写出线段BD，EF，AB之间的数量

关系；（2）