初中数学自主招生难度讲义-9年级专题11是偶然还是必然——概率初步.pdfVIP

专题11是偶然还是必然—概率初步

阅读与思考

统计学是一门研究如何收集、整理、分析数据，并在此基础上作出推断的学科．

在自然界和人类社会中，严格确定性的现象十分有限，不确定性现象却是大量存在的，而概率正是

对随机现象的一种数学描述．数学中用概率来表示事件发生的机会大小，概率是一个比值，用字母P表

示，计算公式是：

该事件发生的所有可能结果

事件发生的概率P

所有可能结果

在具体的计算中，常用到树形图、列表、穷举等方法．

统计与概率互为基础，概率这一概念是建立在概率这一统计量稳定性的基础上的，而推断、估计等

统计方法的科学性有赖于概率理论的严密性．

例题与求解

【例1】一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀

的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8．同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数之和

为7的概率是．

（“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题）

解题思路：用列表法列出所有情形．

【例2】一项“过关游戏”规定：在第n关要掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于

3n35

，则算过关；否则不算过关．现有下列说法：①过第一关是必然事件；②过第二关的概率是；

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③可以过第四关；④过第五关的概率大于0．其中，正确说法的个数为（）

A．4个B．3个C．2个D．1个

解题思路：对于（2），在理解“过关”意义的基础上，逐步计算相关概率．

【例3】如图，用红、蓝、黄三色将图中区域A，B，C，D染色，要求有公共边界的相邻区域不能染相

同的颜色，则满足区域A恰好染蓝色的概率为．

解题思路：用树形图列出所有可能情形，或从整体考虑．

【例4】小明准备给小陈打电话，由于保管不善，电话本上的小陈手机号码中，有两个数字已模糊不清．如

果用x，y表示这两个看不清的数字，那么小陈的手机号码为139x370y580（手机号码由11个数字组成），

小明记得这11个数字之和是20的整数倍．求小明一次拨对小陈手机号码的概率．

解题思路：建立关于x，y的不定方程，由此可得x，y可能的对应值的所有情况．

【例5】杨华与李红用五张相同规格的硬币纸片做拼图游戏．硬纸片正面如下图1所示，背面完全一致．将

它们背面朝上洗匀后，同时抽出两张．

规则如下：

当两张硬纸片上的图形可拼成电灯或小人时，杨华得1分；

当两张硬纸片上的图形可拼成房子或小山时，李红得1分；

问题：游戏规则对双方公平吗？请说明理由；若你认为不公平，如何修改游戏规则才能使游戏对双

方公平？

解题思路：游戏对双方公平是指双方积分相同．解题的关键是分别求出杨华、李红的得分．

【例6】一个正三角形ABC的每一个角各有一只蚂蚁，每只蚂蚁开始朝另一只蚂蚁做直线运动，目标

角是随机选择．求蚂蚁不相撞的概率．

（微软公司招聘面试试题）

解题思路：三只蚂蚁在每个角上都有两种选择的方向（顺时针或逆时针），因每只蚂蚁选择的不确定

性，故组成的各种情形似乎繁杂．出题用意就在于考查应试者摒除习惯因素的干扰、切中要害、化繁为

简的能力．

能力训练

A级

1．如图1，图中有一个黑球，图2有3个同样大小的球叠成的图形，最下一层的2个球为黑色，其余为

白色；图3为6个同样大小的球叠成德图形，最下一层的3个球为黑色，其余为白色；…则从第n

个图中随机取一个球，是黑球的概率为