2025年河南省九年级中考数学二轮复习专题课件：与圆有关的证明与计算.pptxVIP

与圆有关的证明与计算

与圆有关的平面几何证明与计算是河南中考解答题的必考题型，分

值为9～10分.考查类型主要有以下两种：一是与圆的切线性质和判定有

关的证明或计算；二是与圆相结合的特殊四边形的动态探究题.近五年

更加注重圆与实际生活的联系，以实际生活中的圆为背景，考查圆的有

关概念和性质，如2020年第20题的“三分角器”，2021年第20题的“石

磨”，2022年第22题的“铁环”，2024年第20题的“视角”.

解答与圆有关的计算、证明：1.要正确应用切线的性质定理，已知切线，作出过切点的半径，构造

直角，以便利用勾股定理或三角函数.2.要正确应用圆周角定理及推论，把不同位置的角的数量关系建立

起来.3.要正确应用圆心角、弦、弧之间的关系定理，把弧、弦的相等关系

转化到角的相等关系上来，或者进一步转化到线段的关系上来.

类型一与圆的切线有关的证明与计算1.（2024湖北）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E在AC

上，以CE为直径的☉O经过AB上的点D，与OB交于点F，且BD＝

BC.（1）求证：AB是☉O的切线；（1）证明：如图，连接OD.∵BD＝BC，OB＝OB，OD＝OC，∴△OBD≌△OBC（SSS），∴∠ODB＝∠OCB＝90°，即OD⊥BD.又∵OD为☉O的半径，∴AB是☉O的切线.

???

2.如图，四边形ACDE内接于☉O，AC为☉O的直径，分别延长

AE，CD，交点为B，连接AD，直线PC是☉O的切线.（1）求证：∠PCD＋∠BED＝90°；（1）证明：∵直线PC是☉O的切线，∴∠PCD＋∠ACD＝90°.∵四边形ACDE内接于☉O，∴∠AED＋∠ACD＝180°.∵∠AED＋∠BED＝180°，∴∠BED＝∠ACD.∴∠PCD＋∠BED＝90°.

???

3.（2024北京）如图，AB是☉O的直径，点C，D在☉O上，OD平分

∠AOC.（1）求证：OD∥BC.?

?（2）解：设☉O的半径为r.如图，∵OD∥BC，∴△EOF∽△CBF，∠1＝∠2，

??

类型二与圆有关的特殊四边形动态探究问题1.如图，CD是☉O的直径，且CD＝2cm，点P为CD的延长线上一

点，过点P作☉O的切线PA，PB，切点分别为点A，B.

（1）连接AC，若∠APO＝30°，试证明△ACP是等腰三角形.（1）证明：如图，连接OA，AC.∵PA是☉O的切线，∴OA⊥PA.在Rt△AOP中，∠AOP＝90°－∠APO＝90°－30°＝60°，∴∠ACP＝30°.∴∠ACP＝∠APO∴AC＝AP.∴△ACP是等腰三角形.

（2）填空：①当DP＝cm时，四边形AOBD是菱形；【解析】①DP＝1cm.理由如下：∵四边形AOBD是菱形，∴OA＝

AD＝OD＝1cm.∴∠AOP＝60°.∴OP＝2OA＝2cm.∴DP＝OD.

∴DP＝1cm.∴当DP＝1cm时，四边形AOBD是菱形.1

②当DP＝cm时，四边形AOBP是正方形.??

2.如图，△ABC内接于圆O，且AB＝AC，延长BC到点D，使CD＝

CA，连接AD交圆O于点E.（1）求证：△ABE≌△CDE.（1）证明：∵AB＝AC，CD＝CA，∴∠ABC＝∠ACB，AB＝CD.∵四边形ABCE是圆内接四边形，∴∠ECD＝∠BAE，∠CED＝∠ABC.∵∠ABC＝∠ACB＝∠AEB，∴∠CED＝∠AEB，∴△ABE≌△CDE（AAS）.

（2）填空：①当∠ABC的度数为时，四边形AOCE是菱形；【解析】①当∠ABC的度数为60°时，四边形AOCE是菱形.理由如

下：如图，连接AO，OC.∵四边形ABCE是圆内接四边形，∴∠ABC＋∠AEC＝180°.∵∠ABC＝60°，∴∠AEC＝120°＝∠AOC.∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝30°.∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角

形.∴∠ACB＝60°.∵∠ACB＝∠CAD＋∠D，AC＝CD，∴∠CAD＝∠D＝30°.∴∠ACE＝180°－120°－30°＝30°.∴∠OAE＝∠OCE＝60°.∴四边形AOCE是平行四边形.∵OA＝OC，∴四边形AOCE是菱形.60°

???

3.（2024平顶山二模）如图，△ABC中，AB＝AC，点D为BC边上一

点，以BD为直径作☉O，AC是☉O的切线，过点B作BE⊥AC交CA

的延长线于点E，交☉O于点F，连接AF.（1）求证：△ABF≌△ACD；（1）证明：连接OA，如图1.∵AC是☉O的切线，∴OA⊥AC，∵BE⊥AC，∴OA∥BE，∴∠FBA＝∠OAB.∵OA＝OB，∴