高中数学同步教学 两角和与差的正切函数.pptx

2.3两角和与差的正切函数

1.了解两角和与差的正切公式,并能运用它们进行简单的化简、求值与证明.2.了解两角和与差的正弦、余弦和正切公式的内在联系,完善知识结构,培养逻辑思维能力.

2.公式的特点(1)分子是单角正切值的和或差,分母是1减或加单角正切值的乘积,分子连接符号与左边角的连接符号相同,分子连接与分母连接符号相反;(2)tan(α±β)=tanα±tanβ一般不成立.3.公式的变形在三角式中常常会出现两角正切值的和、差、乘积,这时可以把它们用公式的另外一部分表示,使问题得到解决:(1)tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ),tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ);

【做一做1】tan75°=()答案:A【做一做2】设tanα,tanβ是方程x2-3x+2=0的两个根,则tan(α+β)的值为()A.-3 B.-1 C.1 D.3解析:因为tanα,tanβ是方程x2-3x+2=0的两个根,所以tanα+tanβ=3,tanαtanβ=2,答案:A

题型一题型二题型三题型四分析利用tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)求解.反思公式Tα+β,Tα-β是变形较多的两个公式,公式中有tanαtanβ,tanα+tanβ(或tanα-tanβ),tan(α+β)(或tan(α-β))时,三者中知道任意两个就可表示或求出第三个.

题型一题型二题型三题型四解析:∵tan18°+tan42°+tan120°=tan60°(1-tan18°·tan42°)+tan120°=-tan60°tan18°tan42°,∴原式=-1.答案:-1

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题型一题型二题型三题型四反思该题属于给值求值题,解答此类题目的关键在于先用Tα±β公式分析待求的问题需要什么条件,然后根据已知条件寻找未知条件.

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【例3】如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆☉O相交于A,B两点,已知点A,B的横坐标分别为(1)求tan(α-β)的值;(2)求α+β的值.题型一题型二题型三题型四

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题型一题型二题型三题型四反思给值求角问题的解题步骤是根据已知条件选定所求角的一种三角函数,并求出该三角函数值,再根据条件判断出角的范围(一般将范围限定在相应的三角函数的一个单调区间内),从而确定所求角的大小.

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题型一题型二题型三题型四【例4】已知关于x的方程x2+mx+n=0的两实根为tanα,tanβ,求证:sin2(α+β)+msin(α+β)cos(α+β)+ncos2(α+β)=n.分析:由一元二次方程的根与系数的关系可得tanα+tanβ=-m,tanαtanβ=n,由此求出tan(α+β),再证左边=右边即可.

题型一题型二题型三题型四反思三角函数式的证明,需注意等式两边的差异.常见的差异有角的差异、三角函数名称的差异、运算的差异.

题型一题型二题型三题型四【变式训练4】已知△ABC不是直角三角形,求证:tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.

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123451.若A,B是锐角三角形ABC的内角,则tanAtanB的值()A.大于1 B.不大于1C.小于1 D.不小于1解析:∵△ABC是锐角三角形,∴tanAtanB1.答案:A

12345答案:B

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12345分析将所求问题转化为求tanα的值.