高中数学同步教学 抛物线及其标准方程.pptx

§2 抛物线

2.1抛物线及其标准方程

1.抛物线的定义(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.(2)点F叫作抛物线的焦点,直线l叫作抛物线的准线.(3)图形展示:名师点拨抛物线的定义可归纳为“一动三定”:一个动点,设为点M;一个定点F(即抛物线的焦点);一条定直线(即抛物线的准线);一个定值(即点M到点F的距离与它到定直线的距离之比等于常数1).

【做一做1】平面内到定点F的距离等于到定直线l的距离的点的轨迹是()?A.抛物线 B.直线C.抛物线或直线 D.不存在答案:C

2.抛物线的标准方程y2=2px(p0)叫作抛物线的标准方程.这条抛物线的焦点在x轴正半轴上,焦点坐标是,它的准线方程是.特别提醒1.“p”的几何意义是抛物线的焦点到准线的距离,所以p的值恒大于0.2.只有顶点在坐标原点,焦点在坐标轴上的抛物线方程才是标准方程.

【做一做2】(1)抛物线y2=8px(p0),F是焦点,则p表示()A.F到准线的距离D.F到y轴的距离(2)抛物线y2=4x的焦点坐标为.?(3)若抛物线的准线方程为x=-7,则抛物线的标准方程为.?

解析:(1)化为标准形式y2=2×(4p)x(p0),则4p就是焦点F到准线的距离,所以p表示焦点F到准线的距离的.(2)因为y2=4x,所以2p=4,即p=2,所以焦点坐标为(1,0).(3)由题意可知-=-7,故p=14,且焦点在x轴正半轴上,所以抛物线的标准方程为y2=28x.答案:(1)B(2)(1,0)(3)y2=28x

思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.(1)平面内与定点(1,0)和直线y=x-1距离相等的点的轨迹是抛物线.()(2)抛物线与二次函数的图像是完全相同的.()(3)抛物线y2=-8x的焦点坐标是(-2,0).()(4)若抛物线的方程是x=4y2,则其中的焦参数p=2.()答案:(1)×(2)×(3)√(4)×

探究一探究二探究三思维辨析【例1】(1)过点A(1,0),且与直线l:x=-1相切的圆的圆心的轨迹是()A.圆 B.椭圆C.双曲线 D.抛物线(2)设点A是抛物线y2=4x上一点,点B(1,0),点M是线段AB的中点,若|AB|=6,则M到直线x=-1的距离为.?分析(1)判断到一定点与到一定直线距离相等的点的轨迹是否是抛物线,要看定点与定直线的位置关系.(2)利用抛物线的定义求解.

探究一探究二探究三思维辨析解析:(1)如图,设动圆的圆心为M,由题意,M到直线l的距离等于圆的半径|MA|,由抛物线的定义知,点M的轨迹是以A(1,0)为焦点,以直线l为准线的抛物线.(2)B(1,0)是抛物线y2=4x的焦点,直线l:x=-1是抛物线的准线,过A作AA⊥l于A,则|AA|=|AB|=6.则M到直线x=-1的距离为答案:(1)D(2)4反思感悟应用定义解决的两类问题:(1)判断动点的轨迹的类型;(2)利用抛物线的定义,将到焦点的距离与到准线的距离进行相互转化.

探究一探究二探究三思维辨析变式训练1若点P到点F(4,0)的距离比它到定直线x+5=0的距离小1,则点P的轨迹方程是()A.y2=-16x B.y2=-32xC.y2=16x D.y2=32x解析:∵点P到点F(4,0)的距离比它到定直线x+5=0的距离小1,∴点P到F(4,0)的距离等于它到定直线x=-4的距离.∴点P的轨迹方程为y2=16x.答案:C

探究一探究二探究三思维辨析【例2】求满足下列条件的抛物线的标准方程:(2)以x轴为对称轴,焦点在直线3x-4y-12=0上.分析对于(1),需要确定p的值,因为点在第四象限,所以抛物线的标准方程可设为y2=2px(p0);对于(2),因为标准方程的焦点在x轴上,所以求出直线3x-4y-12=0与x轴的交点(4,0),即可求出.

探究一探究二探究三思维辨析

探究一探究二探究三思维辨析反思感悟求抛物线标准方程的常用方法(1)直接法:建立恰当的坐标系,利用抛物线的定义列出动点满足的条件,写出对应方程,化简方程可得;(2)待定系数法:根据已知条件设出抛物线的标准方程,再根据题干中的条件,求出参数p;(3)定义法:直接根据定义求p,最后写出标准方程.

探究一探究二探究三思维辨析变式训练2如图,过抛物线y2=2px(p0)的焦点F作倾斜角为60°的直线l,交抛物线于A,B两点,且|FA|=3,则抛物线的方程是.?答案:y2=3x

探究一探究二探究三思维辨析【例3】设点P是抛物线y2=4