高考数学二轮复习第2部分专题篇素养提升 专题3立体几何文科第3讲空间向量与立体几何理科.pptx

;专题三立体几何与空间向量(理科)

专题三立体几何(文科);1解题策略·明方向;01解题策略·明方向;以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点,常与空间线面关系的证明相结合,热点为二面角的求解,均以解答题的形式进行考查,难度主要体现在建立空间直角坐标系和准确计算上．

;(理科);年份;02考点分类·析重点;设直线l的方向向量为a＝(a1,b1,c1),平面α、β的法向量分别为μ＝(a2,b2,c2),v＝(a3,b3,c3)．

(1)线面平行

l∥α?a⊥μ?a·μ＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0．

;(2)线面垂直

l⊥α?a∥μ?a＝kμ(k≠0)?a1＝ka2,b1＝kb2,c1＝kc2(k≠0)．

(3)面面平行

α∥β?μ∥v?μ＝λv(λ≠0)?a2＝λa3,b2＝λb3,c2＝λc3(λ≠0)．

(4)面面垂直

α⊥β?μ⊥v?μ·v＝0?a2a3＋b2b3＋c2c3＝0．; 如图,在底面是矩形的四棱锥P－ABCD中,PA⊥底面ABCD,点E,F分别是PC,PD的中点,PA＝AB＝1,BC＝2．

(1)求证：EF∥平面PAB；

(2)求证：平面PAD⊥平面PDC.;利用向量法证明平行与垂直的四个步骤

(1)建立空间直角坐标系,建系时,要尽可能地利用已知的垂直关系．

(2)建立空间图形与空间向量之间的关系,用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面．

(3)通过空间向量的运算求出直线的方向向量或平面的法向量,再研究平行、垂直关系．

(4)根据运算结果解释相关问题．;1．如图,在直三棱柱ADE－BCF中,平面ABFE和平面ABCD都是正方形且互相垂直,点M为AB的中点,点O为DF的中点．运用向量方法证明：

(1)OM∥平面BCF；

(2)平面MDF⊥平面EFCD.

;考点二利用空间向量求空间角;典例2;考向2直线与平面所成的角

(2020·安阳二模)已知四棱锥S－ABCD中,四边形ABCD是菱形,且∠ABC＝120°,△SBC为等边三角形,平面SBC⊥平面ABCD.

(1)求证：BC⊥SD；

(2)若点E是线段SA上靠近S的三等分点,

求直线DE与平面SAB所成角的正弦值．;【证明】(1)取BC的中点F,连接BD、DF和SF,

因为△SBC为等边三角形,所以SF⊥BC；

又四边形ABCD是菱形,且∠ABC＝120°,

所以△BCD为等边三角形,所以DF⊥BC；

又SF∩DF＝F,SF?平面SDF,DF?平面SDF,

所以BC⊥平面SDF,又SD?平面SDF,

所以BC⊥SD.

;(2)解：因为平面SBC⊥平面ABCD,平面SBC∩平面ABCD＝BC,

SF⊥BC,SF?平面SBC,所以SF⊥平面ABCD,

又DF⊥BC,所以SF、BC、DF两两垂直；

以点F为坐标原点,FC、FD、FS所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系F－xyz,如图所示：;因为PD⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,

所以PD⊥AC,

又BD∩PD＝D,所以AC⊥平面PBD,

又AC?平面PAC,所以平面PBD⊥平面PAC.;考向3二面角

(2020·湖南省怀化市期末)如图四棱锥P－ABCD中,底面ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,且PA＝AB,E为PD中点．

(1)求证：PB∥平面EAC；

(2)求二面角A－BE－C的正弦值．;【解析】(1)连接BD交AC于O,连接OE,

∵底面ABCD为正方形,

∴O是BD的中点,

∵E为PD中点,∴OE∥PB,

又EO?面EAC,PB?面EAC,

∴PB∥平面EAC.

;;(1)运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤：

①建立恰当的空间直角坐标系；②求出相关点的坐标；③写出向量坐标；④结合公式进行论证、计算；⑤转化为几何结论．

(2)求空间角注意：①两条异面直线所成的角α不一定是直线的方向向量的夹角β,即cosα＝|cosβ|；②两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角,有可能为两法向量夹角的补角；③直线和平面所成的角的正弦值等于平面法向量与直线方向向量夹角的余弦值的绝对值,注意函数名称的变化．;利用空间向量巧解探索性问题

(1)空间向量最适合于解决立体几何中的探索性问题,它无需进行复杂的作图、论证、推理,只需通过坐标运算进行判断．

;(2)解题时,把要成立的结论当作条件,据此列方程或方程组,把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解,是否有规定范围内的解”等问题,所以为使问题的解决更简单、有效,应善于运用这一方法解题．

提醒：探索线段上是否存在点时,注意三点共线条件的应用．; (2020·北京房山区期末)如图,在四棱锥P－ABCD中,CD⊥平面PAD,△PAD为等边三角形,AD∥BC,AD＝CD＝2BC＝2,E,F分别为棱PD,PB的中