数学百家波恩哈德黎曼.ppt

·黎曼1847年，黎曼转到柏林大学学习，成为雅可比、狄利克莱、施泰纳、艾森斯坦的学生。1849年重回哥廷根大学攻读博士学位，成为高斯晚年的学生。1851年，黎曼获得数学博士学位；l854年被聘为哥廷根大学的编外讲师；1857年晋升为副教授；1859年接替去世的狄利克雷被聘为教授。柏林大学图书馆第5页,共29页，星期六，2024年，5月·黎曼

主要成果l9世纪数学最独特的创造是复函数理论的创立。它是18世纪人们对复数及复函数理论研究的延续。柯西、黎曼和外尔斯特拉斯是世界公认的复函数论的主要奠基人，而且后来证明在处理复函数理论的方法上黎曼的方法是本质的，柯西和黎曼的思想被融合起来，外尔斯特拉斯的思想逐渐从柯西一黎曼观点推导出来。在黎曼对多值函数的处理中，最关键的是他引入了被后人称“黎曼面”的概念。通过黎曼面给多值函数以几何直观，且在黎曼面上表示的多值函数是单值的。他在黎曼面上引入支点、横剖线、定义连通性，开展对函数性质的研究获得一系列成果。经黎曼处理的复函数，单值函数是多值函数的待例，他把单值函数的一些已知结论推广到多值函数中。尤其他按连通性对函数分类的方法，极大地推动了拓扑学的初期发展。他研究了阿贝尔函数和阿贝尔积分及阿贝尔积分的反演，得到著名的黎曼一罗赫定理。1、复函数论的奠基人第6页,共29页，星期六，2024年，5月·黎曼黎曼ζ函数黎曼猜想（RH）是关于黎曼ζ函数ζ(s)的零点分布的猜想。黎曼ζ函数在任何复数s≠1上有定义。它在负偶数上也有零点（例如，当s=?2,s=?4,s=?6,...）。这些零点是“平凡零点”。黎曼猜想关心的是非平凡零点。（非平凡零点(在此情况下是指s不为-2、-4、-6???等点的值)的实数部份是?。）黎曼ζ函数：第7页,共29页，星期六，2024年，5月·黎曼黎曼ζ函数在临界线Re(s)=1/2上的实部（红色）和虚部（蓝色）。我们可以看到最起初的几个非平凡零点就位于Im(s)=±14.135,±21.022和±25.011上。黎曼ζ函数实部与虚部的数值比较图，也就是Re(ζ(s))vs.Im(ζ(s))，沿着临界线s=it+1/2，t由0到34.第8页,共29页，星期六，2024年，5月·黎曼经黎曼处理的复函数，单值函数是多值函数的待例，他把单值函数的一些已知结论推广到多值函数中，尤其他按连通性对函数分类的方法，极大地推动了拓扑学的初期发展。他研究了阿贝尔函数和阿贝尔积分及阿贝尔积分的反演，得到著名的黎曼—罗赫定理，首创的双有理变换构成19世纪后期发展起来的代数几何的主要内容。黎曼为完善其博士论文，在结束时给出其函数论在保形映射的几个应用，将高斯在1825年关于平面到平面的保形映射的结论推广到任意黎曼面上，并在文字的结尾给出著名的黎曼映射定理。用现代记法，亏格为g的紧黎曼曲面与一个典范除子K的黎曼–罗赫定理表述为：l(D)?l(K?D)=deg(D)?g+1.这对所有除子D均成立。除子是曲面上点的自由阿贝尔群中一个元素。等价地，一个除子是曲面上一些点的整系数线性组合。我们定义一个亚纯函数f的除子为第9页,共29页，星期六，2024年，5月·黎曼黎曼对数学最重要的贡献还在于几何方面，他开创的高维抽象几何的研究，处理几何问题的方法和手段是几何史上一场深刻的革命，他建立了一种全新的后来以其名字命名的几何体系，对现代几何乃至数学和科学各分支的发展都产生了巨大的影响。第10页,共29页，星期六，2024年，5月·黎曼主要成果德国数学家黎曼19世纪中期提出的几何学理论。1854年黎曼在格丁根大学发表的题为《论作为几何学基础的假设》的就职演说，通常被认为是黎曼几何学的源头。在这篇演说中，黎曼将曲面本身看成一个独立的几何实体，而不是把它仅仅看作欧几里得空间中的一个几何实体。他首先发展了空间的概念，提出了几何学研究的对象应是一种多重广义量，空间中的点可用n个实数（x1，……，xn）作为坐标来描述。这是现代n维微分流形的原始形式，为用抽象空间描述自然现象奠定了基础。这种空间上的几何学应基于无限邻近两点（x1，x2，……xn）与（x1＋dx1，……xn＋dxn）之间的距离，用微分弧长度平方所确定的正定二次型理解度量。亦即（gij）是由函数构成的正定对称矩阵。这便是黎曼度量。赋予黎曼度量的微分流行，就是黎曼流形。2、黎曼几何的创始人黎曼几何（1）、黎曼流形上的几何学第11页,共29页，星期六，2024年，5月·黎曼主要成就（2）、黎曼几何-与欧氏几何的不同黎曼几何，