最优化理论与方法概述.ppt

设则充分性令即所以同理第38页,共45页，星期六，2024年，5月定理3（二阶条件）：设D是R中非空开凸集,是定义在D上的二次可微函数,则是凸函数的充要条件为对x∈D,≥0,即Hesse矩阵半正定。n)(xf)(xf)(2xf?)(2xf?若x∈D,0，即Hesse矩阵正定，则为严格凸函数。)(2xf?)(xf第39页,共45页，星期六，2024年，5月证明：必要性所以由Taylor公式令得因为为开集。由一阶条件所以由p的任意性，半正定。第40页,共45页，星期六，2024年，5月充分性其中因为半正定故为凸函数。所以严格凸函数？第41页,共45页，星期六，2024年，5月充分性其中因为正定，故为严格凸函数。所以第42页,共45页，星期六，2024年，5月例：判断下列函数的凹凸性。（1）（2）解：第43页,共45页，星期六，2024年，5月若规划???íì===3ljhmigtsfji,,2,1,0)(,,2,1,0)(..)(minxxx……中,和-为凸函数,是线性函数,则上述问题为凸规划。)(xf)(xig)(xih定义6:凸规划设D为凸集,是定义在D上的凸函数，则称规划问题为凸规划。第44页,共45页，星期六，2024年，5月例：线性规划是凸规划。第45页,共45页，星期六，2024年，5月1.2最优化问题的数学模型一般形式向量形式其中第6页,共45页，星期六，2024年，5月目标函数不等式约束等式约束称满足所有约束条件的向量为可行解，或可行点，全体可行点的集合称为可行集，记为。若是连续函数，则是闭集。第7页,共45页，星期六，2024年，5月在可行集中找一点，使目标函数在该点取最小值，即满足：的过程即为最优化的求解过程。称为问题的最优点或最优解，称为最优值。定义1：整体（全局）最优解：若，对于一切，恒有则称是最优化问题的整体最优解。定义2：局部最优解：若，存在某邻域，使得对于一切，恒有则称是最优化问题的局部最优解。其中严格最优解：当，有则称为问题的严格最优解。第8页,共45页，星期六，2024年，5月f(X)局部最优解整体最优解第9页,共45页，星期六，2024年，5月1.3最优化问题的分类与时间的关系：静态问题，动态问题是否有约束条件：有约束问题，无约束问题函数类型：线性规划，非线性规划第10页,共45页，星期六，2024年，5月2、梯度与Hesse矩阵2.1等值线二维问题的目标函数表示三维空间中的曲面。在空间直角坐标系中，平面与曲面的交线在平面上的投影曲线为取不同的值得到不同的投影曲线