高等数学：导数与微分PPT教学课件.pptx

第3章导数与微分

目录3.1导数的概念3.2函数的和、差、积、商的求导法则3.3反函数、复合函数、隐函数的求导法则3.4高阶导数3.5函数的微分

导数的概念3.13.1.1导数的引入在现实世界中，除了研究变量之间的关系外，往往还需要研究自变量的改变量与函数值的改变量之间的关系，这就促使了导数概念的产生.1.变速直线运动的瞬时速度问题设物体沿直线做变速运动，物体的位移s是时间t的函数，即s=s(t)，试求物体在时刻t0时的瞬时速度v(t0).2.切线斜率问题设曲线方程为y=fx，求曲线在点M(x0，y0)处的切线的斜率.

导数的概念3.13.1.2导数的概念1.导数的定义定义1设函数y=f（x）在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x在点x0处取得增量Δx（点x0+Δx仍在该邻域内）时，相应地，函数y取得增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）.如果当Δx→0时Δy与Δx之比的极限存在，则称函数y=f（x）在点x0处可导，并称这个极限为函数y=f（x）在点x0处的导数，记为y′/x=x0，即也可记作f′（x0）。

导数的概念3.1如果函数f(x)在点x0处有导数，则称函数f(x)在点x0处可导，否则称函数f(x)在点x0处不可导.如果函数f(x)在某区间(a，b)内每一点处都可导，则称f(x)在区间(a，b)内可导.设f(x)在区间(a，b)内可导，此时，对于区间(a，b)内每一点x，都有一个导数值与它对应，这就定义了一个新的函数，称为函数y=f(x)在区间(a，b)内对x的导函数，简称为导数，记作y′，f′(x)。

导数的概念3.1

导数的概念3.12.导数的几何意义函数y=f（x）在点x0处的导数f′(x0)就是曲线y=f（x）在点M(x0，y0)处的切线的斜率，可知曲线y=f（x）上点M(x0，y0)处的切线方程为y-y0=f′(x0)(x-x0)过切点M(x0，y0)且与切线垂直的直线称为曲线y=fx在该点处的法线.如果f′(x0)≠0，则法线的斜率为-1/f′(x0)，从而法线方程为y-y0=-1/f′(x0)·(x-x0)

导数的概念3.13.单侧导数定义2设函数y=f（x）在x0的某邻域内有定义，如果极限存在，则称此极限值为f（x）在点x0处的左导数，记作f-′(x0);如果极限存在，则称此极限值为fx在点x0处的右导数，记作f+′(x0).

导数的概念3.1

导数的概念3.14.可导与连续的关系定理设函数y=f（x）在点x处可导，则函数y=f（x）在点x处一定连续.

函数的和、差、积、商的求导法则3.23.2.1代数和的导数定理1设u=u（x），v=v（x）都在点x处可导，则y=u（x）x±v（x）也在点x处可导，且有[u（x）±v（x）]′=u′（x）±v′（x）3.2.2乘积的导数定理2设u=u（x），v=v（x）都在点x处可导，则y=u（x）v（x）也在点x处可导，且有[u（x）x·v（x）]′=u（x）·v′（x）+u′（x）·v（x）

函数的和、差、积、商的求导法则3.2

函数的和、差、积、商的求导法则3.23.2.3商的导数定理3设u=u（x），v=v（x）都在点x处可导，又v（x）≠0，则y=u（x）/v（x）也在点x处可导，且有

函数的和、差、积、商的求导法则3.2

反函数、复合函数、隐函数的求导法则3.33.3.1反函数的求导法则定理1设严格单调连续函数y=f（x）在某区间Ix内可导且f′（x）≠0，则其反函数x=f-1y在相应点y处可导，且

反函数、复合函数、隐函数的求导法则3.3

反函数、复合函数、隐函数的求导法则3.33.3.2复合函数的求导法则定理2若设函数u=φ（x）在点x处可导，函数y=f（u）在对应点u=φ（x）处可导，则复合函数y=f[φ（x）]在点x处可导，且有y′（x）=f′（u）·φ′（x）例如，把函数y=lnsinx视为y=lnu，u=sinx的复合，则有

反函数、复合函数、隐函数的求导法则3.3

反函数、复合函数、隐函数的求导法则3.33.3.3基本导数公式1.基本初等函数的导数公式

反函数、复合函数、隐函数的求导法则3.32.函数和、差、积、商的求导法则3.反函数的求导法则设x=f-1（y）是y=f（x）的反函数，且f′（x）≠0，则[f-1（y）]′=1/f′（x）或f′（x）=1/[f-1y]′.

反函数、复合函数、隐函数的求导法则3.34.复合函数的求导法则设y=f（u），u=φ（x），而f（u）及φ（x）都可导，则复合函数y=f[φ（x）]的导数为dy/d