黄冈名师2025版高考数学大一轮复习核心素养提升练四十七10.1直线的倾斜角与斜率直线的方程理含解析.docVIP

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核心素养提升练四十七

直线的倾斜角与斜率、直线的方程

(25分钟50分)

一、选择题(每小题5分,共35分)

1.设直线ax+by+c=0的倾斜角为α,且sinα+cosα=0,则a,b满意()

A.a+b=1 B.a-b=1

C.a+b=0 D.a-b=0

【解析】选D.因为sinα+cosα=0,

所以tanα=-1.

又因为α为倾斜角,所以斜率k=-1.

而直线ax+by+c=0的斜率k=-,

所以-=-1,即a-b=0.

2.直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0,)为端点的线段有公共点,则直线l斜率的取值范围为 ()

A.[-,1] B.(-∞,-]∪[1,+∞)

C.-,1 D.-∞,-∪[1,+∞)

【解析】选B.因为kAP==1,

kBP==-,所以k的取值范围是(-∞,-]∪[1,+∞).

3.直线(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0过定点 ()

A.(1,-3) B.(4,3)

C.(3,1) D.(2,3)

【解析】选C.2mx+x+my+y-7m-4=0,即(2x+y-7)m+(x+y-4)=0,由解得则直线过定点(3,1).

4.(2024·兰州模拟)若直线+=1(a0,b0)过点(1,1),则a+b的最小值等于

()

A.2 B.3 C.4 D.5

【解析】选C.因为直线+=1(a0,b0)过点(1,1),所以+=1,所以1=+≥2=(当且仅当a=b=2时取等号),所以≥2.又a+b≥2(当且仅当a=b=2时取等号),所以a+b≥4(当且仅当a=b=2时取等号).

【一题多解】选C.因为直线+=1(a0,b0)过点(1,1),所以+=1,所以a+b=

(a+b)=2++≥2+2=4.(当且仅当a=b=2时取等号).

【变式备选】(2024·沈阳模拟)若直线l:+=1(a0,b0)经过点(1,2),则直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值是________.?

【解析】由直线l:+=1(a0,b0)可知直线在x轴上的截距为a,在y轴上的截距为b.求直线在x轴和y轴上的截距之和的最小值,即求a+b的最小值.由直线经过点(1,2)得+=1.于是a+b=(a+b)·+=3++,因为+≥2=2,当且仅当=时取等号,所以a+b≥3+2,故直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值为3+2.

答案:3+2

5.(2024·张家口模拟)若直线mx+ny+3=0在y轴上的截距为-3,且它的倾斜角是直线x-y=3的倾斜角的2倍,则 ()

A.m=-,n=1 B.m=-.n=-3

C.m=,n=-3 D.m=,n=1

【解析】选D.对于直线mx+ny+3=0,令x=0得y=-,即-=-3,n=1.

因为x-y=3的倾斜角为60°,直线mx+ny+3=0的倾斜角是直线x-y=3的2倍,所以直线mx+ny+3=0的倾斜角为120°,即-=-,m=.

6.假如AC0,且BC0,那么直线Ax+By+C=0不通过 ()

A.第一象限 B.其次象限

C.第三象限 D.第四象限

【解析】选C.由题意知,A,B同号,所以直线Ax+By+C=0的斜率k=-0,在y轴上的截距为-0,所以,直线不通过第三象限.

7.已知A(1,2),B(2,11),若直线y=m-x+1(m≠0)与线段AB相交,则实数m的取值范围是 ()

A.[-2,0)∪[3,+∞)

B.(-∞,-1]∪(0,6]

C.[-2,-1]∪[3,6]

D.[-2,0)∪(0,6]

【解析】选C.由已知,A(1,2),B(2,11)两点分布在直线y=m-x+1(m≠0)的两侧(或其中一点在直线上),

所以m--2+12m--11+1≤0,解得-2≤m≤-1或3≤m≤6.

二、填空题(每小题5分,共15分)

8.(2024·潍坊模拟)直线l过点(-2,2)且与x轴,y轴分别交于点(a,0),(0,b),若|a|=|b|,则直线l的方程为________.?

【解析】若a=b=0,则l过点(0,0)与(-2,2),l斜率k=-1,l方程为y=-x,即x+y=0.

若a≠0,b≠0,则直线l的方程为+=1,

由已知得解得

此时,直线l的方程为x-y+4=0.

答案:x+y=0或x-y+4=0

【变式备选】过点(2,-3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________.?

【解析】若直线过原点,则方程为3x+2y=0;

若直线不过原点,则斜率为1,方程为y+3=x-2,即为x-y-5=0,

故所求直线方程为3x+2y=0或x-y-5=0.

答案:3x