鲁京津琼专用2025版高考数学一轮复习专题9平面解析几何第71练高考大题突破练_直线与圆锥曲线的位置.docxVIP

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第71练高考大题突破练—直线与圆锥曲线的位置关系

[基础保分练]

1．已知椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(ab0)的离心率为eq\f(\r(2),2)，右焦点为F(1,0)．

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)设点O为坐标原点，过点F作直线l与椭圆E交于M，N两点，若OM⊥ON，求直线l的方程．

2．已知圆O：x2＋y2＝1过椭圆C：eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(ab0)的短轴端点，P，Q分别是圆O与椭圆C上随意两点，且线段PQ长度的最大值为3.

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点(0，t)作圆O的一条切线交椭圆C于M，N两点，求△OMN的面积的最大值．

3．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的上顶点为B，左焦点为F，离心率为eq\f(\r(5),5).

(1)求直线BF的斜率；

(2)设直线BF与椭圆交于点P(P异于点B)，过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q(Q异于点B)，直线PQ与y轴交于点M，|PM|＝λ|MQ|.求λ的值．

[实力提升练]

4．(2024·云南11校跨区联考)已知椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(ab0)的离心率为eq\f(1,2)，点A，B分别为椭圆E的左、右顶点，点C在E上，且△ABC面积的最大值为2eq\r(3).

(1)求椭圆E的方程；

(2)设F为E的左焦点，点D在直线x＝－4上，过F作DF的垂线交椭圆E于M，N两点．证明：直线OD平分线段MN.

答案精析

1．解(1)依题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＝\f(\r(2),2)，,a2＝b2＋1，))

解得a＝eq\r(2)，b＝1，

所以椭圆E的标准方程为eq\f(x2,2)＋y2＝1.

(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)．

①当MN垂直于x轴时，直线l的方程为x＝1，不符合题意；

②当MN不垂直于x轴时，设直线l的方程为y＝k(x－1)．

联立得方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,2)＋y2＝1，,y＝k?x－1?，))

消去y整理得(1＋2k2)x2－4k2x＋2(k2－1)＝0，

所以x1＋x2＝eq\f(4k2,1＋2k2)，x1·x2

＝eq\f(2?k2－1?,1＋2k2).

所以y1·y2＝k2[x1x2－(x1＋x2)＋1]＝－eq\f(k2,1＋2k2).

因为OM⊥ON，所以eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝0，

所以x1·x2＋y1·y2＝eq\f(k2－2,1＋2k2)＝0，

所以k＝±eq\r(2)，

即直线l的方程为y＝±eq\r(2)(x－1)．

2．解(1)∵圆O过椭圆C的短轴端点，

∴b＝1.

又∵线段PQ长度的最大值为3，

∴a＋1＝3，即a＝2，

∴椭圆C的方程为eq\f(y2,4)＋x2＝1.

(2)由题意可设切线MN的方程为y＝kx＋t，即kx－y＋t＝0，则eq\f(|t|,\r(1＋k2))＝1，

得k2＝t2－1.①

联立得方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋t，,\f(y2,4)＋x2＝1，))

消去y整理得

(k2＋4)x2＋2ktx＋t2－4＝0.

其中Δ＝(2kt)2－4(k2＋4)(t2－4)

＝－16t2＋16k2＋64＝480，

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

则x1＋x2＝eq\f(－2kt,k2＋4)，x1x2＝eq\f(t2－4,k2＋4)，

则|MN|＝eq\r(1＋k2)·eq\f(\r(－16t2＋16k2＋64),k2＋4).②

将①代入②得|MN|＝eq\f(4\r(3)|t|,t2＋3)，

∴S△OMN＝eq\f(1,2)×1×|MN|＝eq\f(2\r(3)|t|,t2＋3)，

而eq\f(2\r(3)|t|,t2＋3)＝eq\f(2\r(3),|t|＋\f(3,|t|))≤1，

当且仅当|t|＝eq\f(3,|t|)时等号成立，

即t＝±eq\r(3).

综上可知，(S△OMN)max＝1.

3．解(1)设F(－c,0)．由已知离心率eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),5)及a2＝b2＋c2，可得a＝eq\r(5)c，b＝2c，

又因为B(0，b)，F(－c,0)，

故直线BF的斜率k＝eq\f(b－0,0－?－c?)＝eq\f(2c,c)＝2.

(2)设点P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，M(xM，yM)．

由(1)可得椭圆的方程为