中考数学二轮培优训练专题25 费马点（原卷版）.doc

专题25费马点

费马点概念：三角形内部满足到三个顶点距离之和最小的点，称为费马点。

模型：如图，已知?ABC中所有内角都小于120°，且其内部有一点P，连接PA、PB、PC，当PA+PB+PC的值最小时，求∠APC、∠APB、∠BPC

【思路】将PA、PB、PC三条分散的线段转化为连续的折线，然后借助两点之间的线段最短找到符合条件的点P。

求解过程：

将?APB绕着点B逆时针旋转60°得到?A’P’B

则?APB≌?A’P’B∴BP=BP’AP=AP’∠A’P’B=∠APB

而∠P’BP=60°则?P’BP为等边三角形

∴∠BPP’=∠P’BP=∠BP’P=60°

∵PA+PB+PC=P’A’+PP’+PC≤A’C

∴当A’、P’、P、C四点共线时，PA+PB+PC的最小值为A’C

此时∠BPC=180°-∠BPP’=120°

∠APB=∠A’P’B=180°-∠BP’P=120°

∠APC=360°-∠APB-∠BPC=120°

【进阶】已知?ABC，如何作费马点？

①已知∠BAC120°

作法：1）如图，分别以?ABC中的AB、AC为边，作等边?ADB、等边?AEC

2）连接CD、BE，则?ADC≌?ABE(手拉手模型)

3）记CD、BE交点为P，点P为费马点。

4）以BC为边作等边?BCF，连接AF，必定经过点P，且BE=AF=CD。

②已知∠BAC=120°

作法：在?ABC外作∠BAD=120°,连接BD、CD

此时点A为?BCD的费马点

则AB+AC+AD≤PB+PC+PD

即AB+AC≤PB+PC+PD-AD≤PA+PB+PC(只有当P、A重合时取等号)

③已知∠BAC120°

作法：在∠BAC内部作∠BAE=120°,连接BE、CE

则AB+AE≤PA+PB+PE而AC≤AE+EC

∴AB+AC≤PA+PB+PE+EC≤PA+PB+PC(只有当P、A重合时取等号)

【过关培优练】

1．（2023春·湖北十堰·九年级统考阶段练习）【阅读材料】平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：给定不在一条直线上的三个点A、B、C，求平面上到这三个点的距离之和最短的点P的位置，费马问题有多种不同的解法，最简单快捷的还是几何解法．如图1，我们可以将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BDE，连接PD，可得△BPD为等边三角形，故PD=PB，由旋转可得DE=PC，因PA+PB+PC=PA+PD+DE，由两点之间线段最短可知，PA+PB+PC

【解决问题】如图2，在直角三角形ABC内部有一动点P，∠BAC=90°，∠ACB=30°，连接PA，PB，PC，若，求PA+PB+PC

2．（2021·辽宁丹东·统考中考真题）已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点．如果△ABC是锐角（或直角）三角形，则其费马点P是三角形内一点，且满足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°．（例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）．若AB=AC=7,BC=23，P为△ABC的费马点，则PA+PB+PC=_________；若AB=23,BC=2,AC=4，

3．（2019秋·湖南长沙·九年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考阶段练习）法国数学家费马提出：在△ABC内存在一点P，使它到三角形顶点的距离之和最小．人们称这个点为费马点，此时PA+PB+PC的值为费马距离．经研究发现：在锐角△ABC中，费马点P满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，如图，点P为锐角△ABC的费马点，且PA＝3，PC＝4，∠ABC＝60°，则费马距离为_____．

4．（2021·四川成都·九年级专题练习）已知点P是△ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫△ABC的费马点（Fermatpoint），已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC中，当∠APB=∠APC=∠BPC=120°时，P就是△ABC的费马点，若P就是△ABC的费马点，若点P是腰长为2的等腰直角三角形DEF的费马点，则PD+PE+PF=_____．

5．（2023春·山东济宁·九年级济宁市第十五中学校考阶段练习）如图，△ABC中，∠ABC=30°，AB=5，BC=6，P是△ABC内部的任意一点，连接PA、PB、PC

6．（2023春·江苏常州·八年级统考期中）如图，在等边△ABC中取点P，使得PA，PB，PC的长分别为m，m，2m，将线段BP以点B为旋转中心顺时针旋转60°得到线段BQ，连接CQ，则∠

7．（2023春·湖北武汉·九年级武汉一初慧泉中学校考阶段练习）如图，Rt△ABC中，∠CAB=30°，BC=32，点P为△ABC

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