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第三章导数及其应用

3.1导数

3.2用导数研究函数

3.3应用

3.1导数

两个问题

1.求变速直线运动的瞬时速度问题

如图：一质点沿直线运动，求其在某一时刻的速度

1As

k______，66e

0s=/(t)sSoSo十As

So+4=/(M+)

在直线上引入坐标原点0和单位长度

设动点于时刻，在数轴上的位置的坐标为s：s=/«)

考虑质点在时段伍，4+AH上的平均速度

一二经过的路程=AsJ(%+4)/(%)

AZAt

,___S^1____As

―••••e

_______j

0s=f(t)sSos()+As

k________________，

so+As=/(M+A£)

考虑质点在时段区/o+AH上的平均速度

一二经过的路程=As/(%+4-(%)

AzAt

(1)若质点作匀速直线运动，则上述比值恒为一常数

,即为质点在时刻的(瞬时)速度。

(2)若质点作非匀速直线运动，则上述比值与A/有关

它仅为质点在%时刻速度的近似值。

1,11.As卜f(^n+A^)—f(L)

pli°=lim——=

a—oA/aqo垃

,___S^1____As

―••••e

K_______1

0s=f(t)sSos()+As

k________________，

so+As=/(M+A£)

考虑质点在时段偏o+AH上的平均速度

一二经过的路程=As=/(%+Af)―/(%)

-Nt-Nt

1,1].As卜/(%+A/)—/(%)

y\t=tn=Inn——=

A—oAfAEfOM

若记t=%+4,则当4f0时,f=r0+Aff柘

l=Iin/⑺一/(幻

vk和=lim

A/fOAtMtTq

2.曲线的切线问题

点侬的切线

Q

切点

切线PT

如图，如果割线MN绕

点M旋转而趋向极限位

置直线MT就称为

曲线。在点拉处的切线.

极限位置即

O,NNMTf0.pia.（设/（/，汽）,。,］）.

割线MM的斜率为tancp=匕=/（）一/（°）,

X—XqX—Xq

N热》M,xf/:切线M刑斜率为

k=tana=limtan。=ym/⑴一八。）.