向量数量积的物理背景与定义ga.ppt

θ2.3.1向量数量积的物理背景与定义一.力做功的计算位移SAθθ表示力F的方向与位移S的方向的夹角。W=│F││S│COSθ如果一个物体在力F作用下产生位移S，那么F所做的功为:OθFFS二.两个向量的夹角baOAOB已知两个非零向量a、b，=a，=b.则∠AOB称作向量a和向量b的夹角,记作a，b.并规定0≤a，b≤πBOA几点说明（1）求两向量的夹角，应保证两个向量有公共起点，若没有，须平移使它们有公共起点；baBOAOAaBbBbaOAAaOBb（2）〈a，b〉=〈b，a〉；（3）范围0≤〈a，b〉≤π；（4）〈a，b〉=0时,a、b同向；〈a，b〉=π时，a、b反向；〈a，b〉=90°时，a⊥b.（5）规定：在讨论垂直问题时，零向量与任意向量垂直.练习1如图，等边三角形中，求（1）AB与AC的夹角；（2）AB与BC的夹角。ABC通过平移变成共起点！三.向量在轴上的正射影（1）概念：已知向量a和轴l，作=a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则向量叫做向量a在轴l上的正射影.OA11OA（2）正射影的数量：向量a的正射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的数量或在轴l方向上的数量.记作：al向量a的方向与轴l的正方向所成的角为θ，则有几点说明1.a在轴l上的数量或在轴l方向上的数量是一个数量，不是向量.2.当?为锐角时，数量为正值；3.当?为钝角时，数量为负值；4.当?为直角时，数量为0；5.当?=0?时，数量为|a|；6.当?=180?时，数量为?|a|.alxlOA2O1A1alaa例1.已知轴（1）.向量︱OA︱=5,＜OA,＞=60°,求OA在上的正射影的数量OA1（2）.向量︱OB︱=5,＜OB,＞=120°,求OB在上的正射影的数量OB1(3)已知向量a,b,向量|a|=4,a,b=600,则向量a在向量b上的正射影的数量解：4cos600=2解：OA1=5COS600=5×(?)=5/2-5/2四.向量的数量积（内积）定义：叫做向量a和b的数量积（或内积）记作：a·b. 即a·b=几点说明1．数量积a?b等于a的长度与b在a方向上正射影的数量|b|cos?的乘积.2．两个向量的数量积是一个实数，符号由cos〈a，b〉的符号所决定；而数乘向量是一个向量。OABabOABabθ为锐角时，|b|cosθ＞0θ为钝角时，|b|cosθ＜0θ为直角时，|b|cosθ=0BOAab量的数量积为03.规定零向量与任意向4.a·b不能写成a×b，a×b表示向量的另一种运算．两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b的单位向量.1.e?a=a?e=|a|cos?;2.a?b?a?b=03.a?a=|a|2或4.cos?=；5.|a?b|≤|a|.|b|.内积为零是判定两向量垂直的条件用于计算向量的模用于计算向量的夹角,以及判断三角形的形状例2.已知|a|=5，|b|=4，a,b=120°，求a·b.解：a?b=|a|·|b|cosa,b=5×4×cos120°=－10.练习2已知|a|＝３，|b|＝６，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角是60°时，分别求a·b①a∥b时，a·b=±18；②a⊥b时，a·b=0；③a与b的夹角是60°时，a·b=9.例3、)(且方向相反平行与,2CDAB∵,°)(.603的夹角是与ADAB∵练习3已知|a|=3,|b|=5，且a?b=－12，求a在b方向上的正射影的数量及b在a方向上的正射影的数量。解：因为所以a在b方向上的正射影的数量是b在a方向上的正射影的数量是(1)θ*