无约束优化的数学基础.ppt

现在建立极值的充分条件。根据二元函数在点处的泰勒展开式，考虑上述极值必要条件，有设则第37页,共57页，星期六，2024年，5月因为：即要求:或表示为第38页,共57页，星期六，2024年，5月该条件反映了海赛函数在处的各阶主子式大于0第39页,共57页，星期六，2024年，5月推而广之，多元函数的极小值充分必要条件正定第40页,共57页，星期六，2024年，5月【例】试证明函数在点处具有极小值。解：将代入得H(X(0))正定，目标函数在（2,4）处具有极小值。第41页,共57页，星期六，2024年，5月当极值点X*能使f（X*）在整个可行域中为最小值时，即在整个可行域中对任一X都有f（X）≥f（X*）时，则X*就是最优点，且称为全域最优点或整体最优点。若f（X*）为局部可行域中的极小值而不是整个可行域中的最小值时，则称X*为局部最优点或相对最优点。优化设计的目标是全域最优点。函数的凸性表现为单峰性。对于具有凸性特点的函数来说，其极值点只有一个，因而该点既是局部最优点亦为全域最优点。第五节凸集、凸函数与凸规划第42页,共57页，星期六，2024年，5月下凸的一元函数第43页,共57页，星期六，2024年，5月（一）凸集设D为n维欧氏空间中的一个集合，若其中任意两点X(1)、X(2)之间的联接直线都属于D，则称这种集合D为n维欧氏空间的一个凸集。图a是二维空间的一个凸集，而图b不是凸集。二维空间的凸集与非凸集第44页,共57页，星期六，2024年，5月凸集的概念可以用数学的语言简练地表示为：如果对一切，及一切满足的实数，点，则称集合为凸集。凸集既可以是有界的，也可以是无界的。n维空间中的维子空间也是凸集（例如三维空间中的平面）。第45页,共57页，星期六，2024年，5月凸集具有以下性质：（1）若A是一个凸集，是一个实数，是凸集A中的动点，即，则集合还是凸集（2）若A和B是凸集，、分别是凸集A、B中的动点，即，，则集合还是凸集。（3）任何一组凸集的交集还是凸集。第46页,共57页，星期六，2024年，5月这三个性质如图所示凸集的性质+第47页,共57页，星期六，2024年，5月（二）凸函数函数如果在连接其凸集定义域内任意两点、的线段上，函数值总小于或等于用及作线性内插所得的值，那么称为凸函数。用数学语言表达为第48页,共57页，星期六，2024年，5月在凸函数曲线上取任意两点（对应于X轴上的坐标x1、x2）联成一直线线段，则该线段上任一点（对应于X轴上的x点）的纵坐标Y值必大于或等于该点（X）处的原函数值f(x)。第49页,共57页，星期六，2024年，5月下面给出凸函数的一些简单性质：设为定义在凸集上的一个凸函数，对任意实数，则函数也是定义在上的凸函数。设和为定义在凸集上的两个凸函数，则其和也是上的凸函数。对任意两个整数和，函数也是在上的凸函数。第50页,共57页，星期六，2024年，5月（三）函数的凸性条件恒成立。方法1：若函数f(x)在D上具有一阶的连续导数，对任意两点x1、x2，f(x)为凸函数的充要条件是:方法2：若函数f(X)在D上具有二阶的连续导数，则f(X)为凸函数的充要条件是:G(X)处处半正定第51页,共57页，星期六，2024