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概率论与数理统计边缘分布

二维随机变量(X,Y)的分量X和Y是一维随机变量,它们各有其分布，称为(X,Y)分别关于X和Y的边缘分布.本节主要讨论二维离散型随机变量(X,Y)分别关于X和Y的边缘分布律和二维连续型随机变量(X,Y)分别关于X和Y的边缘概率密度函数.第2页,共25页，星期六，2024年，5月

设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)，关于X和Y的边缘分布函数分别记为FX(x)和FY(y).注意：由联合分布可以决定边缘分布，反过来，由边缘分布决定不了联合分布。但当分量独立时就可以决定。联合分布可以确定边缘分布1.边缘分布函数第3页,共25页，星期六，2024年，5月

解(X,Y)关于Y的边缘分布函数第4页,共25页，星期六，2024年，5月

对于二维离散型随机变量(X,Y),分量X,Y的分布列（律）称为二维随机变量(X,Y)的关于X和Y的边缘概率分布或分布列（律）.设二维离散型随机变量(X,Y)的概率分布为P(X=xi,Y=yj)＝Pij,i,j=1,2,...,则P(X=xi)=2.二维离散型随机变量的边缘分布(i=1,2,...)第5页,共25页，星期六，2024年，5月

同理:一般地,记:P(X=xi)Pi.P(Y=yj)P.j(j=1,2,...)其分布表如下:第6页,共25页，星期六，2024年，5月

XY.第7页,共25页，星期六，2024年，5月

解P(X=i,Y=j)=P(Y=j|X=i)P(X=i)=(1/i)(1/4),(i≥j)于是(X,Y)的分布律及关于X和Y的边缘分布律为第8页,共25页，星期六，2024年，5月

例:把3个白球和3个红球等可能地放入编号为1,2,3的三个盒子中.记落入第1号盒子的白球个数为X,落入第2号盒子的红球个数为Y.求(X,Y)的分布律和关于X和Y的边缘分布律.解显然有又因为事件{X=i}与事件{Y=j}相互独立,所以有第9页,共25页，星期六，2024年，5月

用表格可如下表示第10页,共25页，星期六，2024年，5月

解在不放回抽样下（上节课例题），列表如下：第11页,共25页，星期六，2024年，5月

在放回抽样下，两次抽取相互独立，故P(X=0,Y=0)=P(X=0)P(Y=0)=3/5×3/5=9/25类似地可有P(X=0,Y=1)=6/25，P(X=1,Y=0)=6/25，P(X=1,Y=1)=4/25，列表如下第12页,共25页，星期六，2024年，5月

注：由此例可见，不同的联合分布可有着相同的边缘分布，从而边缘分布不能唯一确定联合分布！第13页,共25页，星期六，2024年，5月

3.二维连续型随机变量的边缘分布对于二维连续型随机变量(X,Y),设其概率密度函数为f(x,y)，分布函数为F(x,y)，则有第14页,共25页，星期六，2024年，5月

分别称fX(x),fY(y)为二维连续型随机变量(X,Y)关于X和Y的边缘概率密度函数，简称密度函数。记边缘密度函数完全由联合密度函数所决定.第15页,共25页，星期六，2024年，5月

例设随机变量(X,Y)服从区域D上的均匀分布,其中D={(x,y),x2+y2≤1},求X,Y的边缘密度函数fX(x)和fY(y).解(1)由题意得:XY-11当|x|1时,f(x,y)=0,所以,fX(x)=0当|x|≤1时,所以,第16页,共25页，星期六，2024年，5月

注意:均匀分布的边缘密度不再是一维均匀分布同理,第17页,共25页，星期六，2024年，5月

例设(X,Y)的概率密度是求(1)c的值；（2）两个边缘概率密度.解(1)所以，c=24/5xy01y=x第18页,共25页，星期六，2024年，5月

(2)注意积分限注意取值范围同理第19页,共25页，星期六，2024年，5月

即注意：在求二维连续型随机变量的边缘概率密度时，往往要对联合概率密度在一个变量取值范围上进行积分.当联合密度函数是分段函数的时候，在计算积分时应特别注意积分限.第20页,共25页，星期六，2024年，5月

例设随机变量X和Y具有联合概率密度求边缘概率密度fX(x)和fY(y).解第21页,共25页，星期六，2024年，5月

例设二维随机变量（X，Y）的概率密度为⑴求随机变量X的边缘密度函数；⑵求概率P(X+Y≤1).解(1)x≤0时,fX(x)=0;x0时,fX(x)=所以,⑵P(X+Y≤1)=y=xx+y=11/2第22页,共25页，星期六，2024年，5月

例求二维正态随机变量的