概率论课件大数定理与中心极限定理.ppt

大数定律在大量的随机现象中，随机事件的频率具有稳定性.大量的随机现象的平均结果具有稳定性.概率论中用来阐明大量随机现象平均结果的稳定性的一系列定理，称为大数定律（lawoflargenumber)第2页,共23页，星期六，2024年，5月4.6.1切比雪夫（Chebyshev)不等式切比雪夫不等式证明设X为连续型随机变量，其密度函数为则或定理4.3设随机变量X具有数学期望E(X)=μ和方差D(X)=σ2,则对任意正数ε，有第3页,共23页，星期六，2024年，5月证毕第4页,共23页，星期六，2024年，5月切比雪夫（Chebyshev)不等式的应用在随机变量X的分布未知的情况下，只利用X的期望和方差，即可对X的概率分布进行估值。例已知正常男性成人血液中，每毫升白细胞数的平均值是7300，均方差是700，利用切比雪夫不等式估计每毫升血液含白细胞数在5200~9400之间的概率。解设X表示每毫升血液中含白细胞个数，则则第5页,共23页，星期六，2024年，5月而所以设随机变量X的方差为2.5，利用切比雪夫不等式估计概率第6页,共23页，星期六，2024年，5月练习设随机变量X的方差为2.5，利用切比雪夫不等式估计概率解第7页,共23页，星期六，2024年，5月4.6.2大数定律定义4.8若存在常数,对任意正数有则称随机变量序列依概率收敛于记为性质设若在点连续，则第8页,共23页，星期六，2024年，5月定理4.4（切比雪夫定理的特殊情况）设随机变量相互独立，且具有相同的数学期望和方差：作前n个随机变量的算术平均则对任意正数有即序列依概率收敛于第9页,共23页，星期六，2024年，5月伯努利大数定理（频率的稳定性）定理4.5设是n次独立试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意正数恒有定理的应用：可通过多次重复一个试验，确定事件A在每次试验中出现的概率第10页,共23页，星期六，2024年，5月样本平均数稳定性定理定理4.6设随机变量X1，X2，…，Xn，…相互独立，且服从同一分布，并具有数学期望及方差，则对于任意正数，恒有观测量X在相同的条件下重复观测n次，当n充分大时，“观测值的算术平均值接近于期望”是一大概率事件。即依概率收敛于即n充分大时，——辛钦大数定理第11页,共23页，星期六，2024年，5月4.6.3中心极限定理（Centrallimittheoem)客观背景：客观实际中，许多随机变量是由大量相互独立的偶然因素的综合影响所形成，每一个微小因素，在总的影响中所起的作用是很小的，但总起来，却对总和有显著影响，这种随机变量往往近似地服从正态分布。概率论中有关论证独立随机变量的和的极限分布是正态分布的一系列定理称为中心极限定理。第12页,共23页，星期六，2024年，5月设相互独立，且则当定理4.7（李雅普诺夫定理）时，随机变量的分布函数为第13页,共23页，星期六，2024年，5月定理4.8独立同分布的中心极限定理设随机变量X1，X2，…，Xn相互独立，服从同一分布，且有有限的数学期望和方差，则随机变量的分布函数满足如下极限式第14页,共23页，星期六，2024年，5月定理的应用：对于独立的随机变量序列，不管服从什么分布，只要它们是同分布，且有有限的数学期望和方差，那么，当n充分大时，这些随机变量之和近似地服从正态分布第15页,共23页，星期六，2024年，5月例1一部件包括10部分，每部分的长度是一个随机变量，相互独立，且具有同一分布。其数学期望是2mm，均方差是0.05mm，规定总长度为20±0.1mm时产品合格，试求产品合格的概率。解设部件的总长度为X，每部分的长度为