2025年全国第八届章鱼杯I卷（高中组）数学试题.docx

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2025年全国第八届章鱼杯I卷（高中组）数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、未知

1．计算（????）

A．10！ B．13！ C．21！ D．42！

2．“不来参加的同学，你们不会受到任何處分！”那么在这些同学中“来参加”是“会受到處分”的（????）

A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

3．设复数满足，则的虚部是（????）

A． B． C．0或 D．0或

4．若的三个内角的正切值均为正整数，且最短边长为5，则的面积是（????）

A．10 B．15 C．20 D．30

5．空间里有六条直线，任三条不共面．若必定存在其中的条直线，它们要么两两异面，要么互相平行，要么交于一点，则的最大值是（????）

A．3 B．4 C．5 D．6

6．记，其中为正整数但不固定，，若，则不同的的个数是（????）

A．875 B．1012 C．1013 D．1800

7．等差数列的公差大于0，若都是素数，则的最小值是（????）

A．683 B．769 C．907 D．1271

8．设为直线上顺次排列的五点，相邻两点间距为，点不在上且满足，记．若，则（????）

A． B． C． D．

9．设且，下列不等式正确的是（????）

A． B． C． D．

10．在球面上任取八个点，要使得这些点中距离最近的两个点之间的距离最大，这八个点应构成正四反棱柱，它的所有棱长都相等，有十个面，上下底面相互平行，为两个全等的正方形，侧面为八个全等的正三角形．若正四反棱柱的棱长为1，记它的表面积为，外接球半径为，体积为，相邻的正三角形面与正方形面所成的二面角为，则（????）

A． B． C． D．

11．设为定义在上的函数，称具有最值性，当且仅当对任意实数，在上存在最小值和最大值．又称具有介值性，当且仅当对任意实数满足且，存在，使得．已知具有介值性的一个充分条件是：存在上的函数，它的导函数为．下列说法错误的是（????）

A．若具有最值性，则具有介值性

B．若具有介值性，则具有最值性

C．若恰有两个不相等的实根，则不能同时具有最值性和介值性

D．若和都具有介值性，则也具有介值性

12．很多人都认为北极熊是白色的，事实上北极熊的皮肤是黑色的，其毛发是中空且透明的，可以反射和散射阳光，因此人们通常看到的北极熊呈现出雪地里的白色．而在特定的光线的照射下，北极熊也可能显现出不同的颜色．若用特定的光线照射八头北极熊，每一头都会独立等可能地变成红色、白色、蓝色中的一种．这三种颜色北极熊的头数分别为随机变量，则为偶数且的概率是．

13．在双曲线上存在三点，满足直线与直线的斜率之积为1，且，则的取值范围是．

14．数列满足：，当时，，若存在无穷多个和无穷多个，使得，则．

15．锐角的外心、垂心、内心分别为．试从以下两小题中任选一道完成作答：

【甲】若，证明：．

【乙】若，求．

16．设为定义在上的函数，记的导函数为的导函数为的导函数为．已知满足：

·；

·使得；

·；

令为的所有零点构成的集合，为的所有零点之和．

(1)求．

(2)判断和的大小关系并说明理由．

17．在长方体中，在线段上，在线段上．

(1)若，求四面体体积的最大值．

(2)记为长方体的中心，分别为和的中点．问：是否可以同时成立？证明你的结论．

18．曲线（为不小于3的奇数）上有一点，作在处的切线，交于另一点．又设点满足，为坐标原点．

(1)直接写出的横坐标的取值范围．

(2)若在轴上，求的面积．

(3)若运动时，总有的斜率按此顺序构成等比数列，求．

19．记为横、纵坐标都是非负整数的平面向量的全体，集合．对非零向量，称满足对任意的且的有序向量组为的路径，其中使得（称为该路径的长度）最小的为的最短路径．例如，当时，以下两张图都是的路径，并且右图是的最短路径而左图不是最短的．

令的最短路径的长度为，不同的最短路径的条数记为．

(1)若，证明：的任一路径都是最短的，并求

(2)若，求．

(3)若，是否存在，满足，且？证明你的结论．