专题07函数的基本性质思维导图知识清单核心素养分析方法归纳原卷版.pdfVIP

专题07函数的基本性质

目录

01思维导图

02知识清单

03核心素养分析

04方法归纳

一、函数的单调性

1.增函数

一般地，设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x₁,xz,当x₁x₂时，

都有f(x₁)f(x₂),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数.

2.减函数

一般地，设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x₁,xz,当x₁x₂

时，都有f(x₁)f(x₂),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.

小结：对任意的x₁,x₂∈D,且x₁≠x₂有：

f（x）f（x）

（1）12＞0f（x）在D上是增函数；

xx

12

f（x）f（x）

12＜0f（x）在D上减函数；

xx

12

（2）(x₁-x₂)[f(x₁)-f(x₂)]0=f(x)在D上是增函数；

(x₁-x₂)[f(x₁)-f(x₂)]0⇔f(x)在D上是减函数.

二、单调区间

如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，

区间D叫做y=f(x)的单调区间.

温馨提示：

1.函数的单调性是针对定义城内某段区间而言的.

2.函数单调性定义中的x₁,xg有三个特征：①任意性；②有大小；③同属一个单调区间，三者缺一不

可.

3.求函数的单调区间，应先求其定义域.

三、单调函数的运算性质

1.函数f(x)与f(x)+c(c为常数)具有相同的单调性.

2.当a0时，f(x)与a·f(x)的单调性相同，当a0时，f(x)与a·f(x)的单调性相反.

1

3.当f(x)恒为正值或恒为负值时，f(x)与的单调性相反.

f（x）

4.当f(x),g(x)同为增(减)函数时，f(x)+g(x)是增(减)函数.

5.当f(x),g(x)同为增(减)函数时，若两者都恒大于零，则f(x)·g(x)也是增(减)函数；若两者都小于零，

则f(x)·g(x)是减(增)函数.

四、复合函数的单调性

复合函数y=f(g(x)),在其定义域内单调性满足：

f(x)g(x)f(g(x)

增函数增函数增函数

增函数减函数减函数

减函数增函数减函数

减函数减函数增函数

温馨提示:复合函数的单调性符合“同增异减”的法则.

五、函数的最值

1.函数的最大值

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足：(1)任意的x∈I,都有f(x)≤M;(2)存在x₀∈I,

使得f(x₀)=M.那么,我们称M是函数y=f(x)的最大值，