周期函数的傅立叶级数.ppt

高等数学电子教案武汉科技学院数理系高等数学电子教案武汉科技学院数理系第七节周期为2L的周期函数的傅立叶级数定理:设周期为2L的周期函数f(x)满足收敛定理的条件,则它的傅立叶级数展开式为:当f(x)为奇函数时:其中系数bn为:当f(x)为偶函数时:其中系数an为:证明说明:例1设f(x)是周期为4的周期函数,它在[-2,2)上表达式为:f(x)=0,-2≤x0k.0≤x2(常数k≠0),把f(x)展开成傅立叶级数.解:此时L=2=0xyk2-2其图形如下一定义在区间[-L,L]上函数的傅里叶级数展开把函数f(x)展开为傅里叶级数的步骤是:1.确定函数f(x)的周期2L,以及它在[-L,L]上的奇偶性,或者根据题意确定对[0,L]上函数f(x)进行奇延拓还是偶延拓.2.选定相应公式准确计算f(x)的傅里叶系数an,n=0,1,2,….与bn,n=1,2,…并写出相应的傅里叶级数.3.根据狄里克雷定理写出所得到的傅里叶级数的和函数S(x).给定函数的傅里叶级数展开应注意如下几点:01010203040506准确确定函数f(x)的周期,与判断它的奇偶性,对于傅里叶级数的计算是很重要的.由定积分性质可知,若f(x)在[-L,L]上是奇函数或偶函数,则计算傅里叶系数就简单些.它只是正弦级数,或者是余弦级数.0203040506010203040506如果函数f(x)在[-L,L]上没有奇,偶性特性,则可经过01准确掌握函数f(x)的傅里叶系数和傅里叶级数的02坐标变换由函数f(x)构造一个奇函数或偶函数F(x),03然后把F(x)展开为正弦级数或余弦级数,再经过逆04变换得到原来函数f(x)的傅里叶级数.05公式06设函数f(x)在[-L,L]上可积,则f(x)的傅里叶系数以这些系数组成的函数f(x)的傅里叶级数为常常把以2L为周期的周期函数f(x)的傅里叶系数中积分化为从0到2L的积分.这样使积分简单.对于以2L为周期的函数g(x),由定积分的周期性性质可知,不论a是什么值,都有不要把函数f(x)的傅里叶级数的和函数S(x)与f(x)x为f(x)的第一类间断点本身相混同.x为f(x)的连续点x为区间的边界点当函数f(x)在区间[-L,L]上满足狄里克雷定理条件时,它的傅里叶级数必定收敛,且其和函数S(x)123456和函数S(x)与函数f(x)无关.因为傅里叶级数通项的周期性,所以傅里叶级数必能以2L为周期延拓到[-L,L]之外,使其对任何实数x都收敛,因此它的和函数S(x)也是定义在实数轴上以2L为周期的函数,即S(x+2L)=S(x).如果f(x)是定义在[-L,L]上,则[-L,L]之外的f(x)的傅里叶级数的030405060102STEP03STEP04STEP01STEP02利用给定函数f(x)的傅里叶级数展开式可以求某些数项例级数的和值.在某个傅里叶级数等于其和函数的等式中,令变量x取某个特定值,即得到所求数项级数的和值在求傅里叶系数an,bn时,发现在n=1时没有意义,故要再单独计算.定义在区间[0,L]上函数的傅里叶级数展开1定义在区间[0,L]上函数f(x)的傅里叶级数展开,通常有以2下几种情况:3把f(x)在[0,L]上展开成正弦级数.这时,要把f(x)4x∈[0,L],奇延拓到[-L,0]上,在[-L,L]上构造一个奇函5数F(x),把该奇函数F(x)在[-L,L]上展开为傅里叶级数,6然后限制在[0,L]上.即为所求的正弦级数.7即为所求的余弦级数.F(x)=0,即把f(x)在[0,L]上展开成余弦级数.这时,应把f(x),x∈[0,L],奇延拓到[-L,0]上,在[-L,L]上构造一个偶函数把f(x)在(0,L)内展开为以周期为2L的傅里叶级数.F(x),在[-L,L]上展开为傅里叶级数,然后限制在[0,L]上.01这时,在区间[-L,L]上构造一函数F(x),使它在[0,L]上F(x)=f(x),在[-L,0)上可以定义F(x)为任意函数,特别定义02当然,也可定义把扩充后的函数F(x)在[-L,L]上展开为傅里叶级数,然后限制在(0,L)上即为所求的傅里叶级数,往往它既含有正弦项,又含有余弦项.把f(x)在[0,L]上展开为以L为周期的傅里叶级数.它与前三项工作不同的是:前面的函数展开工作是以2L为周期;这里以L为周期,且所得到的傅里叶级