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试题

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试题

2024北京一六六中高一（上）期末

数学

（考试时长：120分钟）

一、选择题（每题3分，共10题）

1.已知集合，则（）

A. B.

C. D.

2.若，，则（）

A. B. C. D.

3.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（）

A. B. C. D.

4.把长为的细铁丝截成两段，各自围成一个正方形，那么这两个正方形面积之和的最小值是（）

A. B. C. D.

5.已知，则的大小关系是（）

A. B.

C. D.

6.若，且，则（）

A. B. C. D.

7.“”是“”成立的（）

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

8.设函数已知，且，则（）

A.1 B.0 C.2 D.

9.奇函数在区间上单调递增，且其图象经过点，则不等式的解集为（）

A. B. C. D.

10.函数中，，为实数集的两个非空子集，又规定，，给出下列四个判断：

①函数有奇偶性；

②函数为周期函数；

③存在无数条直线，与函数的图象无公共点；

④若，则；

⑤若，则.

其中正确判断的个数为（）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

二、填空题（每题3分，前3后2，共8题）

11.函数的定义域是______.

12.命题：“，”的否定形式为______；若为真命题，则实数的最大值为______.

13.在中，写出不满足命题“若，则”的一组、的值为______，______.

14.如图，在平面直角坐标系中，点，，角的顶点与坐标原点重合，始边为轴的非负半轴，终边与单位圆交于点，则阴影区域的面积的最大值为______.

15.函数，关于函数的零点情况有下列说法：

①当取某些值时，无零点；②当取某些值时，恰有1个零点；

③当取某些值时，恰有2个不同的零点；④当取某些值时，恰有3个不同的零点.

则正确说法的全部序号为______.

三、解答题（共五小题，共55分）

16.已知集合，.

（1）若，求实数的取值范围；

（2）若，求实数的取值范围；

（3）若将题干中的集合改为，是否有可能使命题：“，都有”为真命题，请说明理由.

17.在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边为轴的非负半轴.第一象限角的终边与单位圆交于，第二象限角的终边与单位圆交于.

（1）求的值；

（2）求的面积.（梯形的面积公式）

18.已知函数，，.

（1）当时，判断函数的奇偶性并证明；

（2）当且时，利用函数单调性的定义证明函数在上单调递增；

（3）求证：当且时，方程在内有实数解.

19.已知函数，其中，.

条件①：函数图象相邻的两条对称轴之间的距离为；

条件②：函数图象关于点对称；

条件③：函数图象关于对称.

从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知条件，求：

（1）函数的最小正周期；

（2）函数在单调递增区间；

（3）函数的图象可否由函数的图象经过图象变换得到？如果可以，请设计一系列的图象变换过程，如果不可以，请说明理由.

注：如果选择不同条件组合分别解答，按第一个解答计分.

20.当药品注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时25%的速度减少.

（1）按照医嘱，护士给患者甲注射了药品两小时后，患者甲血液中药品的残存量为，求的值；

（2）另一种药物注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时10%的速度减少.如果同时给两位患者分别注射药品和药品，请你计算注射后几个小时两位患者体内两种药品的残余量恰好相等.（第（2）问计算结果保留2位小数）

参考值：，.

参考答案

一、选择题（每题3分，共10题）

1.【答案】D

【分析】先求得集合，结合集合的交集的概念与运算，即可求解.

【详解】由集合，

根据集合交集的定义与运算，可得.

故选：D.

2.【答案】B

【分析】利用诱导公式直接求出即可.

【详解】因为，

故选：B.

3.【答案】B

【分析】利用奇偶性的定义和初等函数的单调性逐一判断.

【详解】对于A：，则，偶函数，

另外当时，，函数单调递减，A错误；

对于B：，则，偶函数，

另外当时，，函数单调递增，B正确；

对于C：，则，奇函数，C错误；

对于D：，则，偶函数，

另外当时，，函数单调递减，D错误.

故选：B.

4.【答案】D

【分析】设铁丝的一段长度为，则另一段铁丝长为，得到，结合二次函数的性质，即可求解.

【详解】设铁丝的一段长度为，（其中），则另一段铁丝长为，

两个正方形的面积之和为，

根据题意，可得，

当且仅当时，取得最小值，最小值为.

故选：D.

5.【答案】D

【分析】构造指数函