初中数学自主招生难度讲义-9年级专题28 顺思逆想.pdf

专题28顺思逆想

阅读与思考

解数学题时，大多是从条件出发，进行正面的顺向思考．对有些数学问题，如果从正面去直接求解，

思维常常受阻，这时可以改变一下思维的角度，从问题的反面进行思考．顺向推导有困难时就逆向推导，

直接证明有困难时就间接证明，探求问题的可能性有困难时就探求不可能性等，我们把这种“倒着干”

的思维方法称为“逆向思维”.

逆向思维解题的常见形式有：

1．逆用定义；

2．逆用公式、法则；

3．常量与变量的换位；

4．主元与辅元的互换；

5．反倒否定；

6.反证法.

例题与求解

abc

【例1】设，，均为非零实数，并且ab2ab，bc3bc，ac4ca，则

abc________．（北京市竞赛试题）

abc

解题思路：直接通过解方程组求，，的值较困难，就对已知条件变形，由ab2ab，得

ab1111

，逆用分式加法法则得，这是解本例的关键．

ab2ab2

【例2】设三个方程22，22，

x4mx4m2m30x2m1xm0

2中至少有一个方程有实根，则的取值范围是()

m1x2mxm10m

3131

mmm

A．B.≤或≥

2424

3111

mmm

C．≤或≥D．＜≤

2242

（江苏省竞赛试题）

解题思路：三个方程中至少有一个方程有实根的可能情况有七种，逐一讨论情况复杂．若从反面考

虑，就只需研究三个方程均无实根一种情况，问题就简单得多．

【例3】求出所有这样的正整数，使得二次方程2至少有一个整数根．

aax22a1x4a30

（“祖冲之杯”邀请赛试题）

解题思路：常规的想法是用求根公式先求出方程的根，再讨论方程至少有一个整数根的条件，从而

求出整数，这样解过程复杂，由于的最高次数为1，不妨着眼于来考虑．

aaa

分类讨论法是解数学题中一个重要方法，但如何准确分类却是一个技巧性很强的工作，有时为避免

分类使解题过程中得以优化，常用如下方法：

①整体考虑；

②数形结合；

③反面思考．

“顺难则逆，直难则曲，