数值分析课件第四章线性方程组的迭代解法.ppt

第62页,共75页，星期六，2024年，5月第63页,共75页，星期六，2024年，5月当ω＝1时，SOR法化为G－S迭代法G－S法为SOR法的特例,SOR法为G-S法的加速。例1.用G－S法和SOR法求下列方程组的解:要求精度1e-6第64页,共75页，星期六，2024年，5月解:(1)G-S迭代法第65页,共75页，星期六，2024年，5月x1 x2 x31110.75000000.37500001.50000000.56250000.53125001.54166670.65104170.59635421.61458330.70182290.65820311.6727431……….0.99999330.99999231.99999260.99999430.99999351.99999370.99999520.99999441.9999946k=71x=0.9999950.9999941.999995满足精度的解迭代次数为71次第66页,共75页，星期六，2024年，5月(2)SOR迭代法x1 x2 x31110.63750000.01218751.31990630.20042700.37175721.31228050.65503350.53401191.69228480.70584680.77334011.7771932………..0.99999900.99999761.99999910.99999840.99999931.99999890.99999980.99999941.99999980.99999960.99999981.9999997k=24x=1.0000001.0000002.000000满足精度的解迭代次数为24次选取适当的ω，SOR法的收敛速度比G-S法要快得多。第67页,共75页，星期六，2024年，5月第68页,共75页，星期六，2024年，5月第69页,共75页，星期六，2024年，5月第70页,共75页，星期六，2024年，5月第71页,共75页，星期六，2024年，5月4.6误差分析结论：（1）的常数项b的第二个分量只有1/1000的微小变化，方程组的解变化却很大。例记方程组（1）为Ax＝b，其精确解为：x1*=2，x2*=0现考察方程组（2）可将其表示为：A(x+?x)=b+?b其中 ?b=(0,0.0001)T设x为(1)的解，显然(2)的解为：x+?x=(1,1)T第72页,共75页，星期六，2024年，5月设Ax＝b的扰动方程组为(A+?A)(x+?x)=b+?b，其中?A叫A的扰动矩阵，?x和?b叫x和b的扰动向量。定义若矩阵A或常数项b的微小变化引起方程组Ax＝b的解的巨大变化，则称此方程组为病态方程组，A为病态矩阵（相对方程组而言）；否则称方程组为良态方程组，A为良态矩阵。研究方程组中A或b的微小误差对解的影响的分析称“扰动分析”。第73页,共75页，星期六，2024年，5月(1)?A=0，则A(x+?x)=b+?b，减去Ax=b，得设Ax=b的扰动方程组为(A+?A)(x+?x)=b+?b，下面进行扰动分析：(2)?b=0，则(A+?A)(x+?x)=b，同理可得A?x=?b，故?x=A-1?b，即||?x||?||A-1||||?b||，又由Ax=b，有||b||?||A||||x||，所以第74页,共75页，星期六，2024年，5月定义设A非奇异，称数cond(A)=||A-1||||A||为矩阵A的条件数。说明：（1）条件数小，扰动引起的解的相对误差一定小； 条件数大，扰动引起的解的误差可能很大。（条件数与所取的范数有关，最常用的是||·||∞和||·||2）（2）由于cond(A)=||A||||A-1||≥||AA-1||=||I||=1，故条件数是一放大的倍数，且