数学史第讲微积分发展史.ppt

（5）他们二人的学风也不尽相同。作为科学家的牛顿学风严谨，小心谨慎，重视实际。作为哲学家的莱布尼兹则比较大胆，富于想象，勇于推广，因为他不赞成因过分的细密而阻碍了最好的创造。牛顿的支持者有著名数学家泰勒和马克劳林，莱布尼兹的维护者则是著名数学家贝努利兄弟，这场争论把欧洲科学家分成势不两立的两派－英国派和大陆派，并因此使双方停止了学术交流。由于牛顿的代表著作《自然哲学的数学原理》中主要使用的几何方法，所以在牛顿去逝后的100多年中，英国人继续以几何为主要工具，沿用牛顿的落后记号，以致使英国数学开始落后于大陆。第30页,共46页，星期六，2024年，5月四、微积分的发展与完善1．函数概念的发展解析几何出现以后，有了变量，这为函数概念的产生与发展提供了条件，而自然科学的发展需要人们研究函数。微积分产生之后，函数的研究就成为必然，初等函数已经被充分认识。牛顿用“流量”一词表示变量之间的关系，莱布尼兹用“函数”一词表示任何一个随曲线上的点的变动而变动的量。1734年，欧拉使用记号表示函数。这个时期的函数概念，是由解析表达式（有限或无限的）所给出，是运算的组合，函数要与曲线联系起来。第31页,共46页，星期六，2024年，5月1807年，傅里叶由于研究热的传导问题，发现了不能用单个（有限的）解析式表达的函数，如，他的这一发现是函数概念发展的一个转折点。虽然欧拉等人也有类似傅里叶的思想，但只是在傅里叶对热传导深入研究引起人们注意时，他关于函数的这个发现才对人们有所震动。第32页,共46页，星期六，2024年，5月1821年，柯西在他关于分析学的著作中给出函数一个新的定义：若干个有联系的变量之间，当给定了其中一个变量的值，就可以决定所有其它变量的值。该定义基本上摆脱了“解析表达式”的要求，侧重于关于变量间关系的认识，但仍未揭示出变量之间的对应关系这一函数概念的本质。更进一步的定义是德国数学家狄利克雷在1837年给出的：如果对于给定区间的每一个的值，有唯一的一个的值与之对应，那么就是的一个函数。他还举出一个著名函数的例子，以说明函数概念的一般性，这就是“狄利克雷函数”：当是有理数时，取值1；当是无理数时，取值0。这个函数是不可能写出任何解析表达式来的。第33页,共46页，星期六，2024年，5月2．函数的极限极限的思想自古以来就有，但直到柯西时，才使它有了一个明确的定义。他在1821年的《代数分析教程》中这样说的：当一个变量逐次所取得的值无限趋向一个定值，最终使变量的值和该定值之差要多么小就有多小，则该定值就叫做这些值的极限。柯西的定义与前人不同的是，他摆脱了几何图形及几何量的任何牵连，只用了“变量”的“数”或函数，没有几何或力学的直观。在此基础上，柯西很自然的定义了“无穷小量”及“无穷大量”，他把无穷小量看成是以0为极限的变量，这就澄清了对无穷小量“似零非零”的模糊认识，把它从物理的、几何的原形中抽象成为一个纯数学概念。第34页,共46页，星期六，2024年，5月由柯西建立起来的这个分析体系，极限是最基本的概念，使用它给出了微分、积分、收敛、连续等几乎所有的概念。但是，柯西的定义中这样一些描述性的词语，如：“无限接近”、“要多小就多小”等，其数学意义是不确切的，还留有物理过程的直观痕迹，没有达到算术化程度，因此这样的极限论还是初步的、不精确的。1850年左右，魏尔斯特拉斯为排除极限概念中的几何直观性，提出了关于极限的纯算术定义，用他发明的所谓语言来表达极限概念，也就是我们现今使用的定义，它与柯西的定义不同的是：第35页,共46页，星期六，2024年，5月①其中没有任何或明或暗地含有几何、运动的含义，完全算术化了。②没有“变量”、“变化”、“趋向”等动态的词，是一个静态的定义，它说明极限的本质是“静态”的。③柯西定义中“要多小有多少”这种词是一种定性的描述，现在量化了。④没有涉及“无穷小量”，从而可以彻底地在微积分中排除“无穷小”概念。第36页,共46页，星期六，2024年，5月3．关于导数1817年和1823年，波尔察诺与柯西分别定义了导数，都是按照函数增量与自变量增量之比的极限来定义的。与导数有关的严密化问题，有下面几点：①柯西给出导数定义后，又把定义为任一有限量，而把定义为，从而导数概念与莱布尼兹的微分统一起来，并可以通过导数定义微分。②1797年，拉格朗日给出“拉格朗日中值定理”，1823年，柯西给出了中值定理的证明，并且用它阐明了与之间的关系。第37页,共46页，星期六，2024年，5月③可微性与连续