高等数学：定积分及其应用PPT教学课件.pptx

第6章定积分及其应用

目录6.1定积分的概念及性质6.2微积分基本定理6.3定积分的换元积分法和分部积分法6.4反常积分6.5反长积分的审敛法Γ函数6.6定积分的几何应用6.7定积分在物理上的应用

定积分的概念及性质6.16.1.1引例1.曲边梯形的面积在初等数学里，我们求面积时对应的平面图形基本上是直边图形，如矩形、三角形．但在实际中，常常需要求曲边图形的面积.在此以曲边梯形为例讨论如何计算它的面积．设y=f(x)在［a，b］上非负、连续，称由直线x=a，x=b，y=0及曲线y=f(x)所围成的图形为曲边梯形.

定积分的概念及性质6.1(1)分割.在区间［a，b］中任意插入n-1个分点：a=x0x1x2…xn-1xn=b把区间a，b分成n个小区间：其长度依次为Δx1=x1-x0，Δx2=x2-x1，…，Δxn=xn-xn-1过每个分点作x轴的垂线，将曲边梯形分成n个小曲边梯形

定积分的概念及性质6.1(2)近似代替.在每个小区间［xi-1，xi］上任取一点ξi，以［xi-1，xi］为底，f(ξi)为高的小矩形的面积近似代替第i个小曲边梯形的面积ΔSi，即ΔSi≈f(ξi)Δxi(i=1，2，…，n)(3)求和.将这样得到的n个小矩形的面积求和就得到所求曲边梯形面积S的近似值，即S≈f(ξ1)Δx1+f(ξ2)Δx2+…+f(ξn)Δxn=∑ni=1f(ξi)Δxi

定积分的概念及性质6.1(4)取极限.若分点越多，Δxi越小，f(x)在［xi-1，xi］上的变化越小，其近似度越高，小矩形面积之和也就越接近曲边梯形的面积.记λ=maxΔx1，Δx2，…，Δxn，当分点的个数无限地增大，λ→0时，取上述和式的极限，便得曲边梯形的面积为S=limλ→0∑ni=1f(ξi)Δxi

定积分的概念及性质6.16.1.2定积分的定义1.定义设函数f(x)在a，b上有界，在a，b中任意插入若干个分点：a=x0x1x2…xn-1xn=b把区间a，b分成n个小区间：［x0，x1］，［x1，x2］，…，［xn-1，xn］其长度依次为Δx1=x1-x0，Δx2=x2-x1，…，Δxn=xn-xn-1

定积分的概念及性质6.1在每个小区间［xi-1，xi］上任取一点ξi(xi-1≤ξi≤xi)，作函数f(ξi)与小区间长度Δxi的乘积f(ξi)Δxi(i=1，2，…n)，并作和式S=∑ni=1f(ξi)Δxi记λ=maxΔx1，Δx2，…，Δxn，如果不论对区间［a，b］怎样分割，也不论在小区间xi-1，xi上点ξi怎样取，只要λ→0时，总和S的极限I存在，则称这个极限I为函数f(x)在［a，b］上的定积分(简称积分)

定积分的概念及性质6.1其中f(x)叫作被积函数，f(x)dx叫作被积表达式，x叫作积分变量，［a，b］叫作积分区间，a叫作积分下限，b叫作积分上限.

定积分的概念及性质6.12.定积分的几何意义定积分∫baf(x)dx的几何意义是：曲线y=f(x)以及两条直线x=a，x=b与x轴所围成的曲边梯形的各部分面积的代数和

定积分的概念及性质6.16.1.3定积分的性质为了运算的需要，我们规定:(1)当a=b时，(2)当ab时，即交换定积分的上下限时，积分的绝对值不变而符号相反．

定积分的概念及性质6.1性质1若函数f(x)和g(x)在［a，b］上可积，则f(x)±g(x)在［a，b］上也可积，且即函数和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差)．

定积分的概念及性质6.1性质2若函数f(x)在［a，b］上可积，c为常数，则cf(x)在［a，b］上也可积，且即被积函数的常数因子可以提到积分号外面.

定积分的概念及性质6.1性质3若f(x)在［a，c］和［c，b］(acb)上可积，则f(x)在［a，b］上可积，且性质4若在［a，b］上f(x)≡1，则性质5若函数f(x)和g(x)在［a，b］上可积且f(x)≤g(x)，则

定积分的概念及性质6.1性质6若函数f(x)在［a，b］上可积，则f(x)在［a，b］上也可积，且性质7若函数f(x)在［a，b］上的最大值和最小值分别为M和m，则性质8(积分中值定理)若f(x)在［a，b］上连续，则在［a，b］上至少存在一点ξ，使得

定积分的概念及性质6.1

微积分基本定理6.26.2.1积分变上限函数及其导数设函数f(x)在［a，b］上连续，x为［a，b］上任意一点，则积分存在且上限x∈［a，b］.每取一个值，积分都有一个值与其对应，因此它在［a，b］上定义了一个函数，记为Φ(x)，即称Φ(x)为积分变上限函数，对Φ(x)具有下面的性质．

微积分基本定理6.2(1)上式中x既表示积分上限，又表示积分变量，因定积分与积分变