黄冈名师2025版高考数学大一轮复习核心素养提升练三十七8.2复数理含解析新人教A版.docVIP

PAGE

1-

核心素养提升练三十七

复数

(25分钟50分)

一、选择题(每小题5分,共35分)

1.(2024·全国卷Ⅱ)= ()

A.--i B.-+i

C.--i D.-+i

【解析】选D.===-+i.

2.(2024·北京高考)在复平面内,复数的共轭复数对应的点位于 ()

A.第一象限 B.其次象限

C.第三象限 D.第四象限

【解析】选D.复数z=====+i,

所以z的共轭复数=-i,对应的点为,位于第四象限.

3.如图,在复平面内,复数z1,z2对应的向量分别是,,则复数z1·z2对应的点位于 ()

A.第一象限 B.其次象限

C.第三象限 D.第四象限

【解析】选D.由已知=(-2,-1),=(0,1),所以z1=-2-i,z2=i,z1z2=1-2i,它所对应的点为(1,-2),在第四象限.

4.已知复数z满意=-i,则|z|= ()

A.1 B.

C.2 D.2

【解析】选A.z===i,

则|z|=1.

5.若复数z满意2z+=3-2i,其中i为虚数单位,则z= ()

A.1+2i B.1-2i

C.-1+2i D.-1-2i

【解析】选B.设z=a+bi(a,b∈R),则

2z+=2(a+bi)+(a-bi)=3a+bi,

又因为2z+=3-2i,所以

3a=3,b=-2,所以z=1-2i.

误区警示:利用复数相等a+bi=c+di列方程时,留意a,b,c,d∈R的前提条件.

6.(2024·福州模拟)已知m∈R,i为虚数单位,若0,则m= ()

A.1 B. C. D.-2

【解析】选B.由已知得==

,由0,

可得1-2m=0,则m=.

7.(2024·全国卷Ⅰ)设有下列四个命题:

p1:若复数z满意∈R,则z∈R;

p2:若复数z满意z2∈R,则z∈R;

p3:若复数z1,z2满意z1z2∈R,则z1=;

p4:若复数z∈R,则∈R.

其中的真命题为 ()

A.p1,p3 B.p1,p4

C.p2,p3 D.p2,p4

【解析】选B.设z=a+bi(a,b∈R),z1=a1+b1i(a1,b1∈R),z2=a2+b2i(a2,b2∈R).

对于p1,若∈R,

即=∈R,则b=0,

故z=a+bi=a∈R,所以p1为真命题;

对于p2,若z2∈R,即(a+bi)2=a2+2abi-b2∈R,则ab=0.当a=0,b≠0时,z=a+bi=bi?R,所以p2为假命题;

对于p3,若z1z2∈R,即(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i∈R,则a1b2+a2b1=0.而若z1=,即a1+b1i=a2-b2i?a1=a2,b1=-b2.因为a1b2+a2b1=0a1=a2,b1=-b2,所以p3为假命题;

对于p4,若z∈R,即a+bi∈R,则b=0,

故=a-bi=a∈R,所以p4为真命题.

二、填空题(每小题5分,共15分)

8.(2024·天津高考)i是虚数单位,复数=________.?

【解析】===4-i.

答案:4-i

9.已知i是虚数单位,若复数(a∈R)的实部与虚部相等,则a=________. ?

【解析】==,又复数的实部与虚部相等,所以=-,解得a=0.

答案:0

【变式备选】已知z=(i为虚数单位),则z的共轭复数的虚部为________.?

【解析】因为z===-i,则=i,则的虚部为1.

答案:1

10.若z=sinθ-+i是纯虚数,则tan等于________.

?

【解析】依题意

所以sinθ=,cosθ=-,

所以tanθ==-,

所以tan===-7.

答案:-7

【变式备选】已知复数z1=cos23°+isin23°和复数z2=cos37°+isin37°,则z1·z2=__________.?

【解析】z1·z2=(cos23°+isin23°)·(cos37°+isin37°)=cos60°+

isin60°=+i.

答案:+i

(20分钟40分)

1.(5分)(2024·全国卷Ⅰ)设z=+2i,则|z|= ()

A.0 B. C.1 D.

【解析】选C.因为z=+2i=+2i=+2i=i,

所以|z|==1.

【变式备选】(2024·郴州模拟)设z=1-i(i是虚数单位),若复数+z2在复平面内对应的向量为,则向量的模是 ()

A.1 B. C. D.2

【解析】选B.z=1-i(i是虚数单位),

复数+z2=+(1-i)2=-2i=1-i.向量的模为=.