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《三角函数的图象与性质应用（第一课时）》教案

教学目标

教学目标：1.运用三角函数的图象与性质研究较为复杂的函数，进一步认识图象与性质的作用;

2.在运用图象与性质解决问题的过程中，体会数形结合的思想方法;

3.发展学生直观想象，逻辑推理，数学运算等数学素养.

教学重点：研究图象变换下函数的性质.

教学难点：由图象观察性质.

教学过程

时间

教学环节

主要师生活动

一、复习回顾

二、例题分析

三、巩固练习

四、拓展应用

五、课堂小结

六、布置作业

我们在前几次课学习了正弦函数、余弦函数和正切函数的图象和性质，大家还记得有哪些内容吗？让我们结合三角函数的图象一起来回顾一下：

①对于正弦函数，定义域是R，最小正周期是2π，我们可以先通过五点法画出一个周期内的简图，五点分别是(0,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π，－1))，(2π，0).由图象可以看出最大值是1，最小值是-1，值域是[-1,1].然后将这段图象“复制-粘贴”，从而得到整个函数的图象.我们发现，图象关于原点对称，该函数是奇函数.在研究单调性的时候我们选取的区间不是[0，2π]，而是[-eq\f(π,2)，eq\f(3π,2)]，结合周期性得出，单调递增区间是[2kπ－eq\f(π,2)，2kπ＋eq\f(π,2)](k∈Z)，单调递减区间是[2kπ＋eq\f(π,2)，2kπ＋eq\f(3π,2)](k∈Z).

②对于余弦函数，其图象可以由正弦函数的图象向左平移eq\f(π,2)个单位长度得到，由图象可以看出，该函数的定义域是R，值域是[-1,1]，最小正周期是2π，图象关于y轴对称，该函数是偶函数.在研究单调性的时候我们选取的区间是[-π，π]，结合周期性得出，单调递增区间是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，单调递减区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)；

③对于正切函数，与正弦函数、余弦函数比较，图象和性质发生了较大的变化，自变量x不再取任意实数，而是x≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，值域由[-1,1]变为R，最小正周期由2π减小为π.图象关于原点对称，该函数是奇函数.在研究单调性的时候我们选取的区间是(-eq\f(π,2)，eq\f(π,2)），结合周期性得出，单调递增区间是(kπ－eq\f(π,2)，kπ＋eq\f(π,2))(k∈Z)，无单调递减区间.

以上我们结合图象复习了三角函数的五个性质：定义域，值域，周期性，奇偶性和单调性，接下来我们根据这些图象和性质，研究几个稍微复杂一些的函数.

例1求下列函数的图象的对称中心：

(1)；

【分析】我们知道，函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))的图象可由函数y＝sinx的图象平移得到，y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))的图象与y＝sinx的图象形状完全一样，如图所示，图象与x轴的每一个交点均为其对称中心，求对称中心只需求出函数的零点即可.

解(1)令sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))=0，由正弦函数定义可知x-eq\f(π,4)=kπ(k∈Z)，x=kπ+eq\f(π,4)，所以该函数图象的对称中心为(kπ+eq\f(π,4)，0)(k∈Z).

(2).

【分析】函数y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(π,6)))的图象可由函数y＝tanx的图象平移得到，y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(π,6)))的图象与y＝tanx的图象形状完全一样，如图所示，求对称中心只需求出使得正切值为零或无意义的x值，即x+eq\f(π,6)=eq\f(kπ,2)(k∈Z).

解令x+eq\f(π,6)=eq\f(kπ,2)(k∈Z)，x=eq\f(kπ,2)－eq\f(π,6)，所以该函数图象的对称中心为(eq\f(kπ,2)－eq\f(π,6)，0)(k∈Z).

下面请同学们看一组练习：

练习已知函数f(x)＝cos(x＋θ)(0≤θ≤π)，

(1)若函数f(x)是奇函数，求θ的值；

(2)若函数f(x)的图象的一条对称轴是直线x＝eq\f(π,8)，求θ的值.

【分析】我们知道，函数f(x)＝cos(x＋θ)的图象可由函数y＝cosx的图象平移得到，两者形状完全一样，余弦曲线既是中心对称图形，又是轴对称图形，如图所示，对称中心