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《正弦函数、余弦函数的性质应用》教案

教学目标

教学目标：

1.利用正弦函数和余弦函数的图象及性质解决相关的问题；

2.在利用正弦函数和余弦函数的图象及性质解决相关问题的过程中体会换元的方法;

3.通过解决相关应用问题，提升代数推理的能力，培养数学运算和数学推理的素养.

教学重点：正弦函数和余弦函数的性质的应用.

教学难点：理解正弦函数和余弦函数的性质.

教学过程

时间

教学环节

主要师生活动

5

分

钟

引入

前面我们学习了正弦函数，余弦函数的图象及性质，具体研究了函数的周期性、单调性、最值，本节课我们将利用正余弦函数的图象及性质解决相关的应用问题.

15

分

钟

（一）

例题

例1求下列函数的周期：

(1)；（2）；

（3）

解：（1），有

由周期函数的定义可知，原函数的周期为.

（2）令，由得，且的周期为，即

于是

所以

由周期函数的定义可知，原函数的周期为.

（3）令，由得，且的周期为，即

于是

所以

由周期函数的定义可知，原函数的周期为.

追问：解答完成之后思考，求解的依据是什么？据此求解的步骤是什么？这些函数的周期与解析式中哪些量有关？

师生活动：对于这些问题，学生能够求出周期，但是不清楚如何规范地表达，这是本例的难点所在，教师要基于学生课堂上的生成，给出分析求解的思路和程序，并加以示范，帮助学生理解.对于周期问题,求解的步骤如下：

第一步，先用换元法转换.比如对于“（2）”，令2x=t，所以；

第二步，利用已知三角函数的周期找关系.有，代入可得；

第三步，根据定义变形.变形可得，于是就有；

第四步，确定结论.根据定义可知其周期为π.

周期与自变量的系数有关.仿照上述分析过程可得函数的周期为.

一般地，如果函数的周期是，那么函数的周期是.

设计意图：通过例题深化对周期和最小正周期概念的理解，形成求解的具体步骤，进而帮助学生理解函数的周期，为后续学习做准备.

例2下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时自变量x的集合，并求出最大值、最小值.

（1）;（2）.

解：容易知道，这两个函数都有最大值、最小值.

（1）使函数取得最大值的x的集合，就是使函数取得最大值的x的集合

；

使函数取得最小值的x的集合，就是使函数取得最小值的x的集合

.

函数的最大值是1+1=2；最小值是-1+1=0.

（2）令，使函数取得最大值的z的集合，就是使取得最小值的z的集合

.

由得所以，使函数

，取得最大值的x的集合是

.

同理，使函数取得最小值的x的集合是

.

函数的最大值是3，最小值是-3.

师生活动：学生先独立完成，然后展示交流解题思路和结果，学生点明换元法及其重要作用.本例中，对于（1），因为1是确定值，因此问题转化为求的最值；对于（2）令，转化为求的最值.

设计意图：巩固对最值概念的理解，初步感受换元法在求解三角函数问题中的作用.

例3不通过求值，比较下列各组数的大小：

（1）与；（2）与.

解：（1）因为

正弦函数在区间上单调递增，所以

（2）

因为且函数在区间上单调递减，所以

即

师生活动：学生独立完成，教师进行指导.本例中，对于（1），可直接应用函数的单调性求解；对于（2），首先要将所给的角化简，使之位于同一个单调区间内，即转化为第（1）题之后求解.

设计意图：初步应用函数的单调性解决比较大小的问题

例4求函数，的单调递增区间.

分析：令，，当自变量x的值增大时，z的值也随之增大，因此若函数在某个区间上单调递增，则函数在相应的区间上也一定单调递增.

解：令，，则.

因为，的单调递增区间是，且由，

得.

所以，函数的单调增区间为.

师生活动：师生共同分析此问题，然后共同完成求解.本题中，令，，当自变量x的值增大时，z的值也随之增大，因此若函数在某个区间上的单调递增，则函数在相应区间上也一定单调递增.

在解题完成后，教师可进一步提出此问题的变式问题：求函数的单调递增区间.此辨识问题让学生独立完成，可能会有一部分学生出错，教师要引导学生将正确和错误解答进行对比分析.

设计意图：类比例3求解，进一步熟悉换元转化的思想方法；通过变换自变量系数的符号，提高学生思维的深刻性，提升学生的逻辑推理和数学运算素养.

（二）

梳理总结

（三）

拓展研究

思考你能求出函数，的单调递增区间吗？

（四）

布置作业

教科书习题5.4第1，2，3，4，5，12，16，18，19题.

课后练习

1．求下列函数的周期：

（1）；（2）．

2．求使下