中考数学二轮培优训练专题31 相似三角形模型（原卷版）.doc

专题31相似三角形模型

相似三角形的判定方法：

判定定理一：平行于三角形一边的直线和其两边相交（或其两边的延长线相交），所构成的三角形和原三角形相似。

判定定理二：三边成比例的两个三角形相似，即：

若ABAB=BCBC

判定定理三：两边成比例并且夹角相等的两个三角形相似。

即：若ACAC=BCBC=k，且∠C＝

判定定理四：两个角分别相等的两个三角形相似。

即：若∠C=∠C，∠B=∠B,则△ABC∽△ABC

判定定理五：斜边和直角边成比例的两个直角三角形相似。

即：在Rt△ABC和Rt△ABC中，

若ABAB=AC

则Rt△ABC∽Rt△ABC

相似三角形的性质：

1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等。

2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比。

3）相似三角形周长的比等于相似比。

4）相似三角形面积比等于相似比的平方。

模型

图形

结论

证明过程（思路）

A字模型

①?ADE~?ABC

②AD

1)已知DE∥BC则∠ADE=∠ABC

而∠A=∠A所以?ADE~?ABC

2)已知∠1=∠2∠A=∠A

所以?ADE~?ABC

共边反A字模型

①?ABC~?ACD②AB

③AC2=AB?AD

剪刀反A字模型

①?ABC~?ADE②AB

证明过程参照按照2）

8字模型

正8字模型

①?AOB~?COD②AO

反8字模型

①?AOB~?DOC②AO

3)已知AB∥DC则∠A=∠C

而∠AOB=∠DOC所以?AOB~?COD

4)已知∠1=∠2∠AOB=∠DOC

所以?AOB~?DOC

射影定理

①?ABC~?ADB~?BDC

②AB2=AC?AD,BD2=AD?CDBC2=AC?CD（口诀：公共边的平方=共线边的乘积）

③AB?BC=BD?AC（面积法）

5)已知∠ABC=∠ADB=90°

∠ABD=∠C∠A=∠DBC

∴?ABC~?ADB~?BDC

一线三垂直

①?ABC~?CDE

②AB

③当点C为BD中点时，

?ABC~?CDE~?ACE

6)∵∠B=∠D=∠ACE=90°

∴∠1+∠2=90°∠2+∠3=90°

则∠1=∠3由此可得?ABC~?CDE

7)∵?ABC~?CDE

∴ABCD=AC

则ABBC=AC

∴?ABC~?ACE则?ABC~?CDE~?ACE

一线三等角

①?ABC~?CDE

②AB

③当点C为BD中点时，

?ABC~?CDE~?ACE

8）∵∠B=∠D=∠ACE=α

∴∠ACD=∠1+∠B=∠1+α

而∠ACD=∠ACE+∠DCE=∠3+α

则∠1=∠3由此可得?ABC~?CDE

结论③证明过程参照7）

线束模型

(一)

①DFEF

②DF:FG:EG=BH:HI:CI（右图）

9）∵DE∥BC

∴?ADF~?ABG，?AFE~?AGC

∴DFBG

∴DF

同理右图结论DF:FG:EG=BH:HI:CI

线束模型

(二)

①AEBE

②AE:EF:BF=DH:HG:CG（右图）

10）∵AB∥CD

∴?AOE~?DOF，?BOE~?COF

∴AEDF

∴AE

同理右图结论AE:EF:BF=DH:HG:CG

三角形内接矩形

①?ABC~?ADG

②AD

③若四边形DEFG为正方形

即DGBC=AMAN

则xBC=AN?xAN若已知B

11)∵四边形DEFG为矩形

∴DG∥BC而AN⊥BC

∴?ABC~?ADG∠AMG=∠ANC=90°

∴ADAB

三平行模型

①1

②1

12)∵AB∥EF∥CD

∴?ABC~?EFC，?BEF~?BDC

∴EFAB

①+②得EFAB+

两边同除EF得,

13)作AM⊥BC于点M,EN⊥BC于点N,DP⊥BC于点P

同理可得1

则1AM

∴1

旋转相似模型

①?ABD~?ACE

∵?ADE~?ABC

∴∠BAC=∠DAEAD

而∠1+∠DAC=∠BAC∠2+∠DAC=∠DAE

∴∠1=∠2

∴?ABD~?ACE

【总结】

三角形相似就意味着对应线段的比值相等，所以就能建立等式关系。因此，题目中只要看到线段比例已知，就要首先考虑构建三角形相似来利用这个已知条件，为进一步完成解题创下基础。

口诀：线段比例若知道，三角相似解题巧。

【专项练习】

【A字模型】

1．（四川省遂宁市2020年中考数学试题）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为（）

A．12 B． C． D．34

2．（2021年陕西省宝鸡市金台区中考一模数学试题）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD上一点，，连接BE交AC于点G，延长BE交CD的延长线于点F，则BGGF的值为（）

A． B．12 C． D．34

3．（江苏省南通市