初中数学自主招生难度讲义-9年级专题29方程思想.pdf

专题29方程思想

阅读与思考

所谓方程思想就是从问题中发现或者构造等量关系，恰当引入未知量，寻找已知量与未知量的等量

关系，列方程或方程组，通过解方程或方程组而使问题获解的解题方法.

应用方程思想解决问题的常见途径有：

1．引入字母，把代数式的化简求值问题转化为方程或方程组问题来解；

2．突出主元，把等式看作是其中某个字母的方程，将问题转化为方程或方程组问题来探讨；

3．构造一元二次方程，利用求根公式、根的判别式、根与系数的关系等知识，求解代数式的相关

问题；

4．列方程、方程组解应用题；

5．通过列方程或方程组解几何计算题，把几何问题代数化．

化归化归

17世纪，法国数学家笛卡尔曾有过一个伟大的设想：把所有问题数学问题

化归

代数问题方程问题．

虽然笛卡尔的理想在他的一生中未能实现，但随着计算机的广泛应用，人们已经越来越体验到方程

思想的重要性．

构造一元二次方程是方程思想解题最重要的途径，在代数式的化简求值、求字母取值范围、探求最

值等方面有广泛的应用．常用的构造方法有：

①用根的定义构造；

②用韦达定理的逆定理构造；

③对于含有多个字母的变元等式问题，把等式整理为关于某个字母的一元二次方程.

例题与求解

abcd

【例1】已知：，，，是四个不同的有理数，且（a＋c）(a＋d)＝1，(b＋c)(b＋d)＝1，

那么(a十c)(b＋c)的值是_______________．（江苏省竞赛试题）

解题思路：本例内容新颖，构思巧妙，解题思路宽广，或用特殊值代入试算、或从变形已知等式入

ab

手.仔细观察已知两个等式特点，，可看作是方程(x＋c)(x＋d)＝1的两根，利用方程思想揭示题

设条件与结论的内在规律．

【例2】化简3535的结果是()

A．10B．2C．5D．2

（武汉市选拔赛试题）

解题思路：设3535＝，将二次根式的化简问题转化为解方程.

x

424244

【例3】已知实数，满足3，yy3，则y的值为()

xy424

xxx

113713

A.7B．C．D．5

22

（全国初中数学联赛试题）

解题思路：本题可以构造一元二次方程，利用根与系数关系——韦达定理解决.

xyxzyz

【例4】已知2，3，4，求7x5y2z的值．

xyxzyz

（“《数学周报》杯”天津竞赛试题）

解题思路：要求的代数式中含三个字母，正好与已知的三个等式中含的三