可降阶的高阶微分方程课件.pptVIP

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2025-02-03 发布于未知
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可降阶的高阶微分方程课件.ppt

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可降階的高階微分方程以二階方程為例展開討論重點討論能將二階導數解出的情況如果我們設法作變數代換把它從二階降至一階，就有可能應用前節中所介紹的方法來求解一、型特點：右端不含僅是x的函數解法：將作為新的未知函數降階令有變數可分離的一階方程積分即再積分對n階方程同理令積分得如此連續積分n次即得原方程的含有n個任意常數的通解一般情況特點：解法：z的(n-k)階方程可得通解.例1解例2解代入原方程解線性方程,得兩端積分,得原方程通解為二、型特點：右端不含y解法：降階令代入原方程得若已求得其通解為回代得變數可分離的一階方程積分得例3解方程解令分離變數得即由由故解方程解即例4三、型特點：右端不含x降階解法：令由複合函數求導法則得代入原方程得這是一個關於y，p的一階方程若已求得它的通解為變數可分離的一階方程積分得即得原方程的通解一般情況特點：解法：求得其解為原方程通解為例5解方程解令若即積分得即或若則包含在通解中如一方程既屬於不含x型又屬於不含y型則一般而言若兩邊可消去p作為不含x型（類型三）來解較簡單若兩邊不可消去p作為不含y型（類型二）來解較簡單注例6解方程解令例7解一代入原方程得原方程通解為解二從而通解為解三原方程變為兩邊積分,得原方程通解為四、恰當導數方程特點解法：類似於全微分方程可降低一階再設法求解這個方程.例8解將方程寫成積分後得通解注意:這一段技巧性較高,關鍵是配導數的方程.五、齊次方程特點：解法：