数值微分与数值积分初次修改稿.ppt

类似地可以得到其中被称为Romberg序列.截断误差:第61页,共91页，星期六，2024年，5月停机准则:梯形值序列Simpson序列Cotes序列Romberg序列?Romberg求积公式第62页,共91页，星期六，2024年，5月例计算=0.9207355=0.9397933=0.9445135=0.9456909解先求梯形值序列第63页,共91页，星期六，2024年，5月24180.92073550.93979330.94451350.94569090.94614590.95608690.94608330.94608300.94608310.9460831?利用只有两三位有效数字的T1,…,T8经过三次外推得到7位有效数字.可见加速的效果十分显著.用Romberg算法计算如下第64页,共91页，星期六，2024年，5月?理论依据:复化梯形公式的余项展开.记?定理设则其中系数?k(k=0,1,…)是与h无关的常数.?T(h)逼近I的速度是O(h2)阶.第65页,共91页，星期六，2024年，5月?当区间[a,b]2n等分时,则有在定理中以h/2代替h得上式乘以4减去T(h)再除以3,记之为T1(h),得T1(h)逼近I的速度是O(h4)阶,效果比T(h)好,它不是别的,就是Simpson序列.第66页,共91页，星期六，2024年，5月?类似地上式乘以16减去T1(h)再除以15,记之为T2(h),得T2(h)逼近I的速度是O(h6)阶,效果比T1(h)好,它不是别的,就是Cotes公式序列.第67页,共91页，星期六，2024年，5月?对Cotes公式序列进行同样处理得到Romberg公式序列.Richardson外推加速方法也称为Romberg求积算法?收敛性说明:如果f(x)充分光滑,那么梯形公式序列,Simpson公式序列,Cotes公式序列,Romberg公式序列均收敛到所求的积分值.?对于f(x)不充分光滑的函数也可用Romberg算法计算,只是收敛慢一些.也可以直接使用复化Simpson公式计算.第68页,共91页，星期六，2024年，5月例用Bomberg算法计算积分解在[0,1]上仅是一次连续可微用Romberg算法计算结果见下表241816320.50.4267770.4070180.4018120.4004630.4001180.4023690.4004320.4000770.4000140.4000020.4003020.4000540.4000090.4000020.4000500.4000090.400002第69页,共91页，星期六，2024年，5月§5Gauss型求积公式?基本思想设计求积公式:在节点数n固定时,适当地选取求积节点{xk}与求积系数{Ak},使求积公式具有最高的代数精确度.第70页,共91页，星期六，2024年，5月例确定x1,x2,A1,A2,使求积公式具有最高次的代数精确度.x2x11?选取(A1,A2,x1,x2)使该求积公式对f(x)=1,x,x2,x3时等号成立.?1第71页,共91页，星期六，2024年，5月?对f=1,x,x2,x3积分精确成立?四个方程四个未知数第72页,共91页，星期六，2024年，5月梯形公式与Gauss求积公式的比较?对1,x求积公式精确成立(1次代数精确度)?对1,x,x2,x3求积公式精确成立(3次代数精确度)第73页,共91页，星期六，2024年，5月x3x11x2?1?选取(A1,A2,A3,x1,x2,x3)使该求积公式对f(x)=x0,x1,x2,x3,x4,x5时等号成立.区间[?1,1]上的Gauss求积公式第74页,共91页，星期六，2024年，5月?对f=x0,x1,x2,x3,x4,x5求积公式等号成立第75页,共91页，星期六，2024年，5月symsA1A2A3x1x2x3eq1=A1+A2+A3-2eq2=A1*x1+A2*x2+A3*x3eq3=A1*x1^2+A2*x2^2+A3*x3^