黄冈名师2025版高考数学大一轮复习核心素养提升练二十二4.5三角恒等变换理含解析新人教A版.docVIP

PAGE

1-

核心素养提升练二十二

三角恒等变换

(30分钟60分)

一、选择题(每小题5分,共25分)

1.(2024·成都模拟)计算:sin20°cos10°-cos160°·sin10°= ()

A. B.- C.- D.

【解析】选D.原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°

=sin(20°+10°)=sin30°=.

2.已知sin=,则sin2θ= ()

A.- B.- C. D.

【解析】选A.因为sin=,所以(sinθ+cosθ)=,两边平方得

(1+sin2θ)=,解得sin2θ=-.

3.已知锐角θ满意sin=,则cos的值为()

A.- B.

C. D.-

【解析】选D.由sin=,

得1-2sin2=1-=,

即cos=,

由θ为锐角且cos=0,所以θ+为锐角,所以sin0,cos

=cos=-sin

=-=-.

4.已知sin=,那么cos2α+sin2α= ()

A. B.- C.- D.

【解析】选A.因为cos2α+sin2α

=2sin,故cos2α+sin2α=

2sin=2cos=2-4sin2=.

5.(2024·莆田模拟)已知sinα=,sin(β-α)=-,α,β均为锐角,则角β等于 ()

A. B. C. D.

【解析】选C.因为sinα=,sin(β-α)=-,结合α,β均为锐角,可以求得cosα=,cos(β-α)=,所以sinβ=sin[α+(β-α)]=

sinαcos(β-α)+cosαsin(β-α)

=×+×==,所以β=.

二、填空题(每小题5分,共15分)

6.2sin2-1=________.?

【解析】由题得2sin2-1=2×-1=-.

答案:-

7.设sin2α=-sinα,α∈,则tan(π-2α)=________.?

【解析】因为sin2α=-sinα,α∈,

所以cosα=-,α=,因此tan(π-2α)=tan=tan=-.

答案:-

8.(2024·全国卷Ⅱ)已知sinα+cosβ=1,cosα+sinβ=0,则sin(α+β)=________.?

【解析】由sinα+cosβ=1与cosα+sinβ=0分别平方相加得

sin2α+2sinαcosβ+cos2β+cos2α+2cosαsinβ+sin2β=1,

即2+2sinαcosβ+2cosαsinβ=1,

所以sin(α+β)=-.

答案:-

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.已知函数f(x)=sincos-sin2.

(1)求f(x)的单调递增区间.

(2)求f(x)在区间[-π,0]上的最小值.

【解析】(1)f(x)=sincos-sin2=

sinx-·=sinx+cosx-=sin-.

由2kπ-≤x+≤2kπ+,k∈Z,得2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z,则f(x)的单调递增区间为,k∈Z.

(2)因为-π≤x≤0,所以-≤x+≤,当x+=-,x=-时,f(x)min=-1-.

10.(2024·南京模拟)在平面直角坐标系xOy中,锐角α,β的顶点为坐标原点O,始边为x轴的正半轴,终边与单位圆O的交点分别为P,Q.已知点P的横坐标为,点Q的纵坐标为.

(1)求cos2α的值.

(2)求2α-β的值.

【解析】(1)因为点P的横坐标为,P在单位圆上,α为锐角,所以cosα=,所以cos2α=2cos2α-1=.

(2)因为点Q的纵坐标为,所以sinβ=.

又因为β为锐角,所以cosβ=.

因为cosα=,且α为锐角,

所以sinα=,

因此sin2α=2sinαcosα=,

所以sin(2α-β)=×-×=.

因为α为锐角,所以02απ.

又cos2α0,所以02α,

又β为锐角,所以-2α-β,

所以2α-β=.

(20分钟40分)

1.(5分)若sin(α+β)=,sin(α-β)=,则等于 ()

A.5 B.-1 C.6 D.

【解析】选A.因为sin(α+β)=,

所以sinαcosβ+cosαsinβ=.①

因为sin(α-β)=,

所以sinαcosβ-cosαsinβ=.②

①+②得sinαcosβ=.

②-①得cosαsinβ=.

==5.

2.(5分)(2024·大连模拟)已知cos4α-sin4α=且α∈,则cos=________.?

【解析】因为cos4α-sin4α=(cos2α-sin2α)(cos2α+sin2α)=cos2α-sin2α