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《三角函数的图象与性质应用（第二课时）》教案

教学目标

教学目标：

１．进一步理解三角函数的图象与性质，会利用三角函数的图象和性质解决相关函数最大（小）值的问题，以及利用图象和性质会解一些特殊的不等式；

２．在解决问题的过程中体会数形结合思想和转化与化归思想的应用，加深知识间的内在联系；

３．在知识的运用过程中发展数学运算和数学直观的素养.

教学重点：利用三角函数图象及性质解决相关函数的问题.

教学难点：问题解决过程中方法的选择及转化策略的使用.

教学过程

时间

教学环节

主要师生活动

复习

三角函数的图象与性质应用（2）

简单回顾三角函数的图象与性质.

上节课已经研究了一些三角函数的图象与性质的应用，比如说：，我们讨论了它的单调区间和周期性，研究的方法离不开图象的支持，今天继续应用三角函数的图象与性质来研究相关函数，那么函数图象与性质是否还能帮助我们解决问题呢？

设计意图：本节课的主要内容是利用三角函数的图象与性质解决问题，先帮助学生复习这部分内容.

例题

例1：求下列函数的最大值、最小值.

分析：

（1）通过观察图象

当cosx=?1时，函数y=1?cosx取到最大值为2，此时

当cosx=1时，函数y=1?cosx取到最小值为0，此时

(2)当时，函数y=1?cosx取到最大值为.

当时，函数y=1?cosx取到最小值为

(3)当时，.所以先考查在上的最大值、最小值.

当时，函数取到最小值为0.当时，函数取到最大值为

学生活动：通过观察函数图象以及利用函数的性质，求函数的最值.

设计意图：通过余弦函数图象，解决多个不同函数的值域问题，也就是说，此例题的问题，都可以转化为利用余弦函数图象以及性质进行解决.

例2：已知函数，其中，若的值域是，求实数

m的取值范围．

分析：先让同学观察图象，思考如何解决问题.

通过动画，让学生观察余弦函数的图象，可以发现当时，f(x)的值域是

.

学生活动：观察图象，思考如何利用函数图象解决此问题.

设计意图：此题若通过代数方法解决是比较困难的，而利用图像，可以非常直观的展现出m的取值范围.

思考题1：已知函数，其中，若f(x)的值域是，

求m的取值范围．

当时，，接下来只需考察在上的

值域是.这就转化为例2的情况.

在例2中，，所以此题的m满足：，解得：.

学生活动：同学们体会函数图象及性质在此题中的作用.

设计意图：与例2相比，此例题中的函数有一点变化，但任然可以使用三角函数图象及性质进行解决.

思考题2：已知函数，其中，若f(x)的值域是，

求m的取值范围．

分析：当时，，接下来只需只需在

的值域是这个问题.这就转化为例2的情况.在例2中，

，所以此题的m满足：，解得：.

学生活动：让同学体会函数图象及性质在此题中的作用，并思考与前面两个例题的关系.

设计意图：与前面两个题相比，此例题中的函数又有一点变化，但任然可以使用三角函数图象及性质进行解决.

例3：求不等式的解集.

分析：通过观察正、余弦函数的图象，先计算出的解，进而得到不等式在内的解.在内，不等式的解集为：.

因此，不等式的解集为：

学生活动：有些学生可能会使用代数方法进行解决，但借助函数图形，可以相对轻松的解决此问题，让学生思考，函数图形及性质在此题中的作用.

设计意图：利用三角函数图形及性质解不等式.

思考题：求不等式的解集.

分析：不等式可转化为：.

在内，的解为.

的解为.

因此在R上，的解集为

小结

利用三角函数图象及性质研究函数的值域；

利用三角函数图象及性质研究一些不等式的解集.

课后篇巩固提升

合格考达标练

1.若函数y=sin(ωx+φ)(ω0)的部分图象如图,则ω=()

A.5 B.4 C.3 D.2

答案B

解析由函数的图象可得T2=12·2πω=x

2.如图,是函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A0,ω0,|φ|π)的图象,则其解析式为()

A.f(x)=5sin4

B.f(x)=5sin2

C.f(x)=5sin2

D.f(x)=5sin2

答案B

解析由题图知,A=5,由T2=5π2-π=3π

∴ω=2πT=23,

由图象知最高点坐标为π4

将其代入y=5sin23x+φ,得

∴π6+φ=2kπ+π2(k∈Z

解得φ=2kπ+π3(k∈Z)

∵|φ|π,∴φ=π3,∴y=5sin2

3.已知函数y=Asin(ωx+φ)+m的最大值是4,最小值是0,最小正周期是π2,直线x=π3是其图象的一条对称轴,则下面各式中符合条件的解析式是(

A.y=4sin4x+π6

B.y=2sin2x+