中考数学二轮培优训练专题23 梯子模型 （原卷版）.doc

专题23梯子模型

模型的概述：如下图，一根长度一定的梯子斜靠在竖直墙面上，当梯子底端滑动时，探究梯子上某点（如中点）或梯子构成图形上的点的轨迹模型（图2），就是所谓的梯子模型。

图1图2

【考查方向】已知一条线段的两个端点在坐标轴上滑动，求线段最值问题。

模型一：如图所示，线段AC的两个端点在坐标轴上滑动，∠ACB=∠AOC=90°，

AC的中点为P，连接OP、BP、OB，则当O、P、B三点共线时，此时线段OB

最大值。

思路：∵OP+BP≥OB（三点共线时，取相等）

∴OB≤OP+BP

∴当O、P、B三点共线时，此时线段OB取最大值

OB=OP+BP=12AC+BC2+PC2

即已知Rt?ACB中AC、BC的长，就可求出梯子模型中OB的最值。

模型二：如图所示，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当点A在

边OM上运动时，点B随之在ON上运动，且运动的过程中矩形ABCD形状保

持不变，AB的中点为P，连接OP、PD、OD，则当O、P、D三点共线时，此时

线段OD取最大值。

思路：∵OP+PD≥OD（三点共线时，取相等）

∴OD≤OP+PD

∴当O、P、D三点共线时，此时线段OD取最大值

OD=OP+DP=12AB+AP2+AD2

即已知矩形ABCD中AB、AD的长，就可求出梯子模型中OD的最值。

【培优过关练】

1．如图，，矩形在的内部，顶点，分别在射线，上，，，则点到点的最大距离是（????）

A． B． C． D．

2．有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时进行捕捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，，点，分别在射线，上，长度始终保持不变，，为的中点，点到，的距离分别为6和4，在此滑动过程中，猫与老鼠的距离的最小值为（????）

A． B． C． D．

3．如图所示，一架长5m的梯子（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，这时梯子的顶端A距地面4m．梯子的正中间P点处有一只老鼠，梯子顶端A的正下方墙角O处有一只猫．下列说法错误的是（????）

A．梯子的底端B到墙的距离为3m

B．P处的老鼠离地面的距离为2m

C．梯子顶端沿墙下滑的长度和梯子底端沿地面向右滑行的距离不一定相等

D．梯子下滑的时候老鼠就会离猫越来越近

4．如图，有互相垂直的两面墙，，梯子，两端点A，B分别在两面墙上滑动（长度不变），P为的中点，柱子，底端C到墙角O的距离为6m．在此滑动过程中，点D到点P的距离的最小值为_______m．

5．已知AB=10的梯子斜靠在墙上，AC⊥BC，∠BAC=30°，当梯子下滑到A′B′时，∠CA′B′=60°，记梯子的中点为M，则下滑的过程中，中点M运动的路程长是__________．

6．如图，平面直角坐标系中，将含30°的三角尺的直角顶点C落在第二象限．其斜边两端点A、B分别落在x轴、y轴上且AB＝12cm

（1）若OB＝6cm．

①求点C的坐标；

②若点A向右滑动的距离与点B向上滑动的距离相等，求滑动的距离；

（2）点C与点O的距离的最大值是多少cm．

7．我们知道，圆可以看成到定点的距离等于定长的点的集合．我们又知道了在平面内点与圆有三种位置关系．如图1，点P在⊙O外，点A是⊙O上一个动点，连接PO交⊙O于点B，我们发现，当点A与点B重合时，线段PA长最短．

（1）利用图1，说明PAPB；

（2）如图2，一架10米长的梯子沿墙壁下滑，一只距离墙壁12米，距离地面5米的小鸟看到梯子的中点位置有食物，小鸟想用最短时间吃到食物，请在图中画出小鸟飞行的路径，并计算出小鸟飞行的距离；

（3）如图3，矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E、F分别为AD、DC边上的点，且EF=2，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，直接写出PA+PG的最小值．

8．如图（1）所示，一架长米的梯子斜靠在与地面垂直的墙壁上，梯子与地面所成的角为度.

（1）求图（1）中的与的长度;

（2）若梯子顶端沿下滑，同时底端沿向右滑行.

①如图（2）所示，设点下滑到点，点向右滑行到点，并且，请计算的长度;

②如图（3）所示，当点下滑到，点向右滑行到点时，梯子的中点也随之运动到点，若，试求的长度.