中考数学二轮培优训练专题27 四点共圆(原卷版).doc

专题27四点共圆

四点共圆的性质：

1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等（如下图1，∠BAC=∠BDC）；

2）圆内接四边形的对角互补（如下图2，∠1=∠2）；

3)圆内接四边形的外角等于内对角（如下图3，∠1=∠3）。

四点共圆的判定方法：

1）若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆。

如图，若AO=BO=CO=DO，则点A、B、C、D四点共圆。

理由：到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上（圆的定义）。

2）共斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆(可在考试中直接使用)。

如图，已知△ABC和△BCD为直角三角形，∠BAC=∠BDC=90°，点0为斜边中点

则点A、B、C、D四点共圆。

理由：连接AO、OD

∴AO=BO=CO=DO∴点A、B、C、D四点共圆

3）同侧共边三角形且公共边所对角相等的四个顶点共圆。

已知：在BC同侧两个三角形△ABC和△BDC,且∠BAC＝∠BDC

求证：A、B、C、D四点共圆

证明(反证法)：

过A，B，D作圆O，交BC所在直线于C’，连结DC’，

使∠BAC＝∠BDC’

∵∠BAC＝∠BDC∴∠BDC＝∠BDC’①

又∵∠BDC与∠BDC’有相同的顶点且点C与点C’不重合

∴∠BDC≠∠BDC’②则①与②矛盾

∴点C与点C’重合，则点C也在圆O上，即点A、B、C、D四点共圆

4)对角互补四边形的四个顶点共圆。

已知：四边形ABCD中，∠A+∠C=180°

求证：A，B，C，D四点共圆

证明（反证法）：

过A，B，D作圆O，假设C不在圆O上，点C在圆外或圆内，

若点C在圆外，设BC交圆O于C’，连结DC’，

根据圆内接四边形的性质得∠A+∠DC’B=180°，

∵∠A+∠C=180°

∴∠DC’B=∠C这与三角形外角定理矛盾，故C不可能在圆外。

类似地可证C不可能在圆内。

∴C在圆O上，也即A，B，C，D四点共圆。

5)在⊙O中，弦AB、CD相交于点P,若AP?DP=BP?CP，则A、B、C、D四点共圆。

证明：

在△APB和△CPD中

AP?DP=BP?CP

∠3=∠4

∴△APB∽△CPD∴∠1=∠2

则A、B、C、D四点共圆

6)若AB、CD两条线段延长后交于点P,且AP?BP=CP?DP，则A、B、C、D四点共圆。

证明：

在△APC和△DPB中

AP?BP=CP?DP

∠P=∠P

∴△APC∽△DPB∴∠1=∠3而∠2+∠3=180°∴∠1+∠2=180°

则A、B、C、D四点共圆

【培优过关练】

1．（湖南省长沙市湘郡未来中学2022-2023学年九年级上学期第三次月考数学试卷）如图，已知?△ABC?中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，∠CPB=∠A，过点?C?作?CP?的垂线，与?BP?的延长线交于点?Q?，则

A．4 B．5 C．?154

2．（浙江省嘉兴市2021年中考数学真题）如图，在ΔABC中，∠BAC=90°，AB=AC=5，点D在AC上，且AD=2，点E是AB上的动点，连结DE，点F，G分别是BC，DE的中点，连接AG，FG，当AG=FG时，线段DE长为（??????

A．13 B．522 C．

3．（2021年江苏省无锡市滨湖区、经开区七校联考中考二模数学试题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转后得到△ADE，直线BD、CE相交于点O，连接AO．则下列结论中：①△ABD∽△ACE；②∠COD＝135°；③AO⊥BD；④△AOC面积的最大值为8，其中正确的有（????）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

4．（2021年广东省深圳市龙岗区九年级下学期教学质量检测数学试卷（二模））如图，正方形ABCD中，AC、BD相交于点O，P是BC边上的一点，且PC=2PB，连接AP、OP、DP，线段AP、DP分别交对角线BD、AC于点E、F．过点E作EQ⊥AP．交CB的延长线于Q．下列结论中：①；②AE=EQ；③sin∠PAC=13

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

5．（江苏省宿迁市沭阳县沭阳红岩学校2020-2021学年九年级上学期期末数学试题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，点P为平面内一点，且∠

A．175 B．154 C．4

6．（山东省烟台市芝罘区（五四制）2021-2022学年九年级上学期期中考试数学试题）如图，平面直角坐标系中，点A、B坐标分别为（3，0）、（0，4），点C是x轴正半轴上一点，连接BC．过点A垂直于AB的直线与过点C垂直于BC的直线交于点D，连接BD，则sin∠BDC的值是__________．

7．（2020年湖北省武汉中考数学二模试题）如图，将△A