中考数学二轮培优训练专题29 阿基米德折弦定理（解析版）.doc

专题29阿基米德折弦定理

阿基米德折弦定理：一个圆中一条折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点。

如图，AB和BC是⊙O的两条弦(即ABC是圆的一条折弦)，ABBC，点M是弧ABC的中点，过点M作MD⊥AB于点D,则AD=DB+BC，AB-BC=2DB。

证明过程：

（方法一：截长补短法-截长）

在AD上取一点E，使AE=BC,连接AM、EM、BM、CM

∵点M是弧ABC的中点∴eq?\o(AM,\s\up5(⌒))=eq?\o(MC,\s\up5(⌒))则AM=MC

在△AEM和△CBM中

AM=MC

∠EAM=∠BCM(同弧所对的圆周角相等)

AE=BC

∴△AEM≌△CBM∴EM=BM

又∵MD⊥BE∴DE=DB

则AD=AE+DE=BC+DB

AB-BC=AE+DE+DB-BC=DE+DB=2DB

（方法二：截长补短法-截长）

在AD上取一点E，使DE=DB,连接AM、EM、BM、CM

则EM=BM∠BEM=∠MBE

∵点M是弧ABC的中点∴eq?\o(AM,\s\up5(⌒))=eq?\o(MC,\s\up5(⌒))则AM=MC∴∠MAC=∠MCA

∵∠MCA=∠MBA∴∠AMC=∠EMB则∠AME=∠BMC

在△AEM和△CBM中

AM=MC

∠AME=∠BMC

EM=BM

∴△AEM≌△CBM∴AE=BC

则AD=AE+DE=BC+DB

AB-BC=AE+DE+DB-BC=DE+DB=2DB

（方法三：截长补短法-截长）

在AD上取一点E，使DE=DB,连接AM、EM、BM、CM

延长EM交圆O于点F，连接AF、FC

则EM=BM而∠BAF=∠BMF∴∠MBE=∠MEB=∠AEF=∠AFE

∵点M是弧ABC的中点∴eq?\o(AM,\s\up5(⌒))=eq?\o(MC,\s\up5(⌒))则AM=MC∠MFC=∠MBA

∴∠MEB=∠MFC则AB∥FC

∴BC=AF=AE则AD=AE+DE=BC+DB

AB-BC=AE+DE+DB-BC=DE+DB=2DB

（方法四：截长补短法-补短）

延长AB至点E，使BE=BC

∵点M是弧ABC的中点∴eq?\o(AM,\s\up5(⌒))=eq?\o(MC,\s\up5(⌒))则AM=MC∠MAC=∠MBA

∵∠MBC+∠MAC=180°∠MBA+∠MBE=180°

∴∠MBC=∠MBE

在△MBC和△MBE中

MB=MB

∠MBC=∠MBE

BE=BC

∴△MBC≌△MBE∴MC=ME而AM=MC∴AM=ME

又∵MD⊥AE∴AD=DE

则AD=DE=DB+BE=DB+BC

（方法五：截长补短法-补短）(仅思路)

过点M作BC垂线交BC延长线于点E，并连接AM、BM、CM

∵MD⊥ABME⊥EC∴∠MDA=∠MDB=∠MEC=90°

而AM=MC∠MAB=∠MCB∴△MAD≌△MCE∴MD=MEAD=CE

∴△MDB≌△MEB∴BE=DB

则AD=EC=BE+BC=DB+BC

（方法六：截长补短法-补短）(仅思路)

在AD上取一点E，使DE=DB,连接AM、EM、BM、CM

延长BC至点F，使AB=BF,则∠BAF=∠BFA，连接AF交圆O于点G,连接CG

∵∠ABC=∠AMCAMMC=ABBF∴△AMC∽△ABF∴∠MAC=∠BAF∴∠CAG=

又∵∠MAC=∠MBA∠BAF=∠BFA∴∠MBE=∠BFA

又∵∠BCG+∠GCF=180°∠BCG+∠BAG=180°∴∠GCF=∠BAG∴∠GCF=∠MEB

∴△BME≌△FGC∴BE=CF而AB=BF∴AE=BC

则AD=AE+DE=BC+DB

AB-BC=AE+DE+DB-BC=DE+DB=2DB

或AB-BC=BF-BC=CF=BE=2DB

（方法七：作辅助圆法）(仅思路)

连接AM、CM，以点M为圆心，MA为半径作⊙M,延长AB交⊙M于点E，连接CE

在⊙O中，∠ABC=∠AMC

在⊙M中，∠AMC=2∠AEC

∴∠ABC=2∠AEC又∵∠ABC=∠BCE+∠BEC

∴∠BCE=∠BEC则BC=BE

∵在⊙M中DM⊥AE∴AD=DE

则AD=DE=DB+BE=BC+DB

【培优过关练】

1．阿基米德是古希腊最伟大的数学家之一，他曾用图1发现了阿基米德折弦定理．如图2，已知BC为⊙O的直径，AB为一条弦(BCAB)，点M是上的点，MD⊥BC于点D，延长MD交弦AB于点E，连接BM，若BM=，AB=4，则AE的长为(????)

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】延长ME，设交圆于点F，连接BF、AF，可得BF=BM，∠