新高考数学一轮复习考点分类讲与练第10讲 函数的奇偶性与周期性、对称性（解析版）.doc

第10讲函数的奇偶性与周期性、对称性

1、函数的奇偶性

奇偶性

定义

图象特点

偶函数

一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数

关于y轴对称

奇函数

一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数

关于原点对称

2、周期性

(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

常用结论

1．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．

2．函数周期性常用结论

对f(x)定义域内任一自变量的值x：

(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a0)．

(2)若f(x＋a)＝eq\f(1,f?x?)，则T＝2a(a0)．

3．函数对称性常用结论

(1)f(a－x)＝f(a＋x)?f(－x)＝f(2a＋x)?f(x)＝f(2a－x)?f(x)的图象关于直线x＝a对称．

(2)f(a＋x)＝f(b－x)?f(x)的图象关于直线x＝eq\f(a＋b,2)对称．

f(a＋x)＝－f(b－x)?f(x)的图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)，0))对称．

1、【2022年全国乙卷】已知函数f(x),g(x)的定义域均为R，且f(x)+g(2?x)=5,g(x)?f(x?4)=7．若y=g(x)的图像关于直线x=2对称，g(2)=4，则k=122

A．?21 B．?22 C．?23 D．?24

【答案】D

【解析】因为y=g(x)的图像关于直线x=2对称，

所以g2?x

因为g(x)?f(x?4)=7，所以g(x+2)?f(x?2)=7，即g(x+2)=7+f(x?2)，

因为f(x)+g(2?x)=5，所以f(x)+g(x+2)=5，

代入得f(x)+7+f(x?2)=5，即

所以f3

f4

因为f(x)+g(2?x)=5，所以f(0)+g(2)=5，即f0=1，所以

因为g(x)?f(x?4)=7，所以g(x+4)?f(x)=7，又因为f(x)+g(2?x)=5，

联立得，g2?x

所以y=g(x)的图像关于点3,6中心对称，因为函数g(x)的定义域为R，

所以g

因为f(x)+g(x+2)=5，所以f1

所以k=122

故选：D

2、【2022年新高考2卷】已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)+f(x?y)=f(x)f(y),f(1)=1，则k=122

A．?3 B．?2 C．0 D．1

【答案】A

【解析】因为fx+y+fx?y=fxfy，令x=1,y=0可得，2f1=f1f0，所以f0=2，令x=0可得，fy+f?y=2fy，即fy=f

因为f2=f1?f0=1?2=?1，f3

一个周期内的f1

所以k=122

故选：A．

3、【2021年甲卷文科】设是定义域为R的奇函数，且.若，则（???????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得的值.

【详解】

由题意可得：，

而，

故.

故选：C.

4、【2021年甲卷理科】设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（???????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为是奇函数，所以①；

因为是偶函数，所以②．

令，由①得：，由②得：，

因为，所以，

令，由①得：，所以．

思路一：从定义入手．

所以．

思路二：从周期性入手

由两个对称性可知，函数的周期．

所以．

故选：D．

5、【2021年乙卷文科】设函数，则下列函数中为奇函数的是（???????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.

【详解】

由题意可得，

对于A，不是奇函数；

对于B，是奇函数；

对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；

对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.

故选：B

6、【2021年新高考2卷】已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（???????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论.

【详解】

因为函数为偶函数，则，可得，

因为函数为奇函数，则，所以，，

所以，，即，

故函数是以为周期的周期函数，

因为函数为奇函数，则