初中数学自主招生难度讲义-9年级专题30运动与变化——函数思想.docx

专题30运动与变化------函数思想

阅读与思考

所谓函数思想，就是用运动、变化的观点来分析问题中的数量关系，通过函数的形式，把这种关系表示出来，运用函数的概念和性质去分析问题、解决问题.

函数思想在解决问题中有以下几个方面的应用：

1．利用函数图象解决问题；

2．用函数的观点研究方程（组）、不等式（组）的解；

3．建立目标函数，运用函数的性质去解决问题.

方程与函数有着深刻的内在联系，这种联系体现在：方程的解是对应的函数图象交点的横坐标．函数图象的直观性，使得我们对方程的理解有了一种新的途径，

函数是初中数学的主要内容，有正比例函数、反比例函数、一次函次和二次函数，要研究它们的性质和图象．函数的思想方法就是用变化运动的观点来观察、分析问题．

应熟悉以下基本问题：

①常见函数的性质、图象、画法；

②常见函数的图象与该函数的解析式中各个系数的符号的关系；

③确定常见函数解析式的方法；函数与方程（组）的联系.

例题与求解

【例1】同学们都知道，一次函数的图象是一条直线，它可以表示许多实际意义，比如在图1中，x表示时间（小时），y表示路程（千米）．那么从图象上可以看出，某人出发时（x＝0），离某地（原点）2千米，出发1小时，由x＝1，得y＝5，即某人离某地5千米，他走了3千米．

在图2中，OA，BA分别表示甲、乙两人的运动图象，请根据图象回答下列问题：

(1)如果用t表示时间，y表示路程，那么甲、乙两人各自的路程与时间的函数关系式：甲_________，乙________________;

(2)甲的运动速度是______千米/时；

(3)甲、乙同时出发，相遇时，甲比乙多走______千米．（常州市中考试题）

图1图2

解题思路：本例采用新视角将行程问题用图示法表示，解题的关键是领会“一次函数”表示行程问题的意义，从图象获得与行程问题相关量的信息.

对于某些从正面直接求解比较困难的数学问题，通过对题设与结论的观察与分析，构造辅助元素，使问题结构更加清晰，解题过程更加简化，目标结论更为明确，这种解题方法称为构造法．

构造法的基本形式是以已知条件为“原料”，以所求结论为“方向”，构造出一种新的数学形式，常用的构造方法有：

①构造实例；②构造反例；③构造方程；④构造函数；⑤构造图形.

【例2】对于方程，如果方程实根的个数恰为3个，则m值等于()

A.1 B． C．2 D．2.5

解题思路：可将m值一一代入原方程，逐一验证，直至筛选出符合条件的m的值．本例的另一解法是把讨论方程解的个数转化为讨论函数与函数图象交点，利用函数图象解题．

【例3】已知b，c为整数，方程的两根都大于－1且小于0，求b和c的值．

（全国初中数学联赛试题）

解题思路：解本例的基本思路是利用求根公式，通过解不等式组求出b，c的值，显然较繁．可以构造二次函数，讨论二次函数与x轴交点在－1与0之间时所满足的约束条件入手．

【例4】在直角坐标系中．有以A（－1，－1），B(1，一1),C(1，1），D(－1，1)为顶点的正方形，设它在折线上侧部分的面积为S．试求S关于a的函数关系式，并画出它们的图象．

（河北省竞赛试题）

解题思路：CD，AB平行于x轴且与x轴的距离为1，就a≥1，0≤a≤1，－1≤a＜0，a＜－1四种情况讨论.

【例5】如图，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA＝1.25米．由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流沿形状相同的各条抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1米处时距水面最大高度为2.25米．

(1)如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至落到池外？

(2)若水流喷出的抛物线形状与(1)相同，水池的半径为3.5米，要使水流不落到池外，此时水流的最大高度应达多少米？（精确到0.1米）（山西省中考试题）

解题思路：以OA所在的直线为y轴，过点O垂直于OA的直线为x轴，点O为原点，建立直角坐标系，解题的关键是求出抛物线的解析式.

随着近年中考和竞赛试题改革的不断深入，数学应用题已不再停留在“列方程解应用”的层次上，其内容繁多，题型多变，解法灵活，函数应用题的广泛出现是近年中考的一个显著特点.

函数应用题的数量关系是以函数的形式出现